Inicialmente, haviam 100 miligramas de uma substância radioativa. Após 6 h, a massa decresceu 3 %. Supondo que a taxa de decaimento d md t é proporcional à quantidade de substância m no instante t:
Determine a meia-vida (tempo necessário para que a massa inicial se reduza à metada) desta substância radioativa.

Passo 1

O enunciado diz que tínhamos inicialmente 100 mg de uma substância radioativa e que após 6 h a massa foi para 97 mg, ou seja, houve um decaimento de 3 %. O conteúdo é decaimento exponencial, modelado pela equação diferencial de primeira ordem com taxa proporcional à quantidade de substância.

Passo 2

A equação diferencial é dmdt=k,m, em que k<0 é a constante de decaimento. Para resolver, separamos variáveis e integramos:
Escrevendo
1m,dm=k,dt,
integrando de 0 a t e de m(0)=m0 a m(t), obtemos
lnl(m(t)r)-ln(m0)=k,timplies m(t)=m0,e^k,t

Passo 3

Usando o dado de que após 6 h a massa é 97 mg quando m0=100 mg, temos
100,e^6k=97implies e^6k=0.97implies k=ln(0.97)6

Passo 4

A meia-vida T1/2 é o tempo para m(T1/2)=tfrac12m0. Então
m0,e^kT1/2=tfrac12m0implies e^kT1/2=tfrac12implies kT1/2=ln(0.5)

Passo 5

Isolando T1/2,
T1/2=ln(0.5)k=ln(0.5)ln(0.97)/6=6,ln(0.5)ln(0.97)

Resposta

A meia-vida é T1/2=6,ln(0.5)ln(0.97)approx136.5 horas

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