Inicialmente, haviam 100 miligramas de uma substância radioativa. Após 6 h, a massa decresceu
. Supondo que a taxa de decaimento
é proporcional à quantidade de substância
no instante
:
Determine a meia-vida (tempo necessário para que a massa inicial se reduza à metada) desta substância radioativa.
Determine a meia-vida (tempo necessário para que a massa inicial se reduza à metada) desta substância radioativa.
Passo 1
O enunciado diz que tínhamos inicialmente 100 mg de uma substância radioativa e que após 6 h a massa foi para 97 mg, ou seja, houve um decaimento de 3 %. O conteúdo é decaimento exponencial, modelado pela equação diferencial de primeira ordem com taxa proporcional à quantidade de substância.
Passo 2
A equação diferencial é
, em que
é a constante de decaimento. Para resolver, separamos variáveis e integramos:
Escrevendo
Escrevendo
integrando de 0 a
Passo 3
Usando o dado de que após 6 h a massa é 97 mg quando
mg, temos
Passo 4
A meia-vida
é o tempo para
. Então
Passo 5
Isolando
,
Resposta
A meia-vida é