Resolva o problema abaixo utilizando uma equaçāo adequada.
Deixa-se cair de uma altura de 150 metros um corpo de 15 kg de massa, sem velocidade inicial, ou seja, quando
. Desprezando a resistência do ar, determine :
a) A expressâo da velocidade do corpo num instante(t) qualquer ,
b) Qual o tempo necessário para o corpo atingir o solo ?
a) A expressâo da velocidade do corpo num instante(t) qualquer ,
b) Qual o tempo necessário para o corpo atingir o solo ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cinemática, especificamente do movimento de queda livre. Precisamos encontrar duas coisas:
a) A expressão para a velocidade do corpo em qualquer instante $ t $.
b) O tempo que o corpo leva para atingir o chão a partir de uma altura de 150 metros.
a) A expressão para a velocidade do corpo em qualquer instante $ t $.
b) O tempo que o corpo leva para atingir o chão a partir de uma altura de 150 metros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é queda livre. É o movimento de um objeto sob a ação exclusiva da gravidade, sem resistência do ar. Nesse caso, a única aceleração é a da gravidade, que na Terra é aproximadamente $ g = 9,8 , m/s^2 $.
Passo 3
Para encontrar a velocidade do corpo em qualquer instante $ t $, usamos a fórmula da velocidade no movimento uniformemente acelerado (MUA):
Onde:
- $ v(t) $ é a velocidade no instante $ t $.
- $ v_0 $ é a velocidade inicial.
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
- $ t $ é o tempo.
Passo 4
No enunciado, foi dito que o corpo é solto sem velocidade inicial, ou seja, $ v_0 = 0 $. Então, substituindo na fórmula:
Portanto, a expressão da velocidade é $ v(t) = g \cdot t $.
Passo 5
Agora, para encontrar o tempo necessário para o corpo atingir o solo, usamos a fórmula da posição no MUA:
Onde:
- $ s(t) $ é a posição no instante $ t $.
- $ s_0 $ é a posição inicial.
- $ v_0 $ é a velocidade inicial.
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
- $ t $ é o tempo.
Passo 6
Sabemos que o corpo cai de uma altura de 150 metros, então $ s_0 = 150 , m $. Como ele está descendo, vamos considerar $ s(t) = 0 $ no chão. E novamente, $ v_0 = 0 $. Substituindo na fórmula:
Note que usamos sinal negativo porque o corpo está descendo.
Passo 7
Vamos resolver para $ t $:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por $ g $:
Então:
Passo 8
Substituindo $ g = 9,8 , m/s^2 $:
Resposta
a) A expressão da velocidade do corpo em qualquer instante $ t $ é:
b) O tempo necessário para o corpo atingir o solo é aproximadamente 5,53 segundos.