Suponha que
é uma função diferenciável com derivada contínua. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar uma relação envolvendo integrais e derivadas de uma função $ f(x) $. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. Essa técnica vem da regra do produto para derivadas e é dada pela fórmula:
Isso significa que, para integrar um produto de duas funções, a gente escolhe qual parte será $ u $ e qual será $ dv $, e então aplica essa fórmula.
Passo 3
Na nossa questão, temos a integral $ \int f(x) , dx $. Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar partes correspondentes a $ u $ e $ dv $. Vamos fazer a seguinte escolha:
Passo 4
Com essas escolhas, agora calculamos $ du $ e $ v $:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Mas na verdade, queremos expressar $ \int f(x) , dx $ em termos de outra integral. Para isso, reorganizamos a equação.
Passo 6
Isolando $ \int f(x) , dx $:
Resposta
Assim, mostramos que