Suponha que f é uma função diferenciável com derivada contínua. Mostre que
integral f(x) d x=x f(x)-integral x f^prime(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar uma relação envolvendo integrais e derivadas de uma função $ f(x) $. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. Essa técnica vem da regra do produto para derivadas e é dada pela fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Isso significa que, para integrar um produto de duas funções, a gente escolhe qual parte será $ u $ e qual será $ dv $, e então aplica essa fórmula.

Passo 3

Na nossa questão, temos a integral $ \int f(x) , dx $. Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar partes correspondentes a $ u $ e $ dv $. Vamos fazer a seguinte escolha:
integral f(x) , dx

Passo 4

Com essas escolhas, agora calculamos $ du $ e $ v $:
du
v

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x , f(x) , dx = x cdot integral f(x) , dx - integral ( integral f(x) , dx ) , dx
Mas na verdade, queremos expressar $ \int f(x) , dx $ em termos de outra integral. Para isso, reorganizamos a equação.

Passo 6

Isolando $ \int f(x) , dx $:
integral f(x) , dx

Resposta

Assim, mostramos que
integral f(x) , dx = x f(x) - integral x f^prime(x) , dx

Exercícios relacionados