Resolva as equaçăo lineares de 2^a ordem homogêneas.
3 y^prime prime-y^prime-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem homogênea que é $ 3 y’’ - y’ - 2 y = 0 $. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve entender equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente encontrar a solução geral usando a equação característica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea como essa, a gente começa determinando a equação característica. Isso significa substituir $ y $ por $ e^{rx} $, onde $ r $ é um número que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Aplicando $ y = e^{rx} $ na equação original, temos:
y = e^rx
Substituindo na equação:
y' = r e^rx e y'' = r^2 e^rx

Passo 4

Como $ e^{rx} $ nunca é zero, podemos dividir toda a equação por $ e^{rx} $, ficando:
e^rx
Essa é a nossa equação característica.

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
3 r^2 - r - 2 = 0
Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde $ a = 3 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $.

Passo 6

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta > 0 $, teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 7

Aplicando na fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz256 = 1 pm 56
Assim, temos duas soluções para $ r $:
r

Passo 8

Com as raízes reais e distintas $ r_1 $ e $ r_2 $, a solução geral da equação diferencial é:
r1
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
r2

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ 3 y’’ - y’ - 2 y = 0 $ é:
3 y'' - y' - 2 y = 0
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas se houver condições iniciais.

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