Resolva as equaçăo lineares de
ordem homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem homogênea que é $ 3 y’’ - y’ - 2 y = 0 $. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve entender equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente encontrar a solução geral usando a equação característica. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea como essa, a gente começa determinando a equação característica. Isso significa substituir $ y $ por $ e^{rx} $, onde $ r $ é um número que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Aplicando $ y = e^{rx} $ na equação original, temos:
Substituindo na equação:
Passo 4
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, podemos dividir toda a equação por $ e^{rx} $, ficando:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 3 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $.
Passo 6
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta > 0 $, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 7
Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para $ r $:
Passo 8
Com as raízes reais e distintas $ r_1 $ e $ r_2 $, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ 3 y’’ - y’ - 2 y = 0 $ é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas se houver condições iniciais.