Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1^{\underline{a}} ordem da forma
y^{\prime}+p(x) y=q(x) y^{n},
onde n é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se n=1, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que y=0 é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança z=y^{-n+1} transforma (B) na equação linear
z^{\prime}+(1-n) p(x) z=(1-n) q(x) .
Use esse método para resolver as seguintes equações:
(b) y^{\prime}=y+e^{-3 x} y^{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli de 1^{\underline{a}} ordem
y' = y + e^{-3x}y^{4}
que pode ser escrita na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}
identificando p(x)=-1, q(x)=e^{-3x} e n=4. Vamos aplicar a mudança de variável
z = y^{-n+1} = y^{-3}
para transformar em equação linear.

Passo 2

Calculemos z' em função de y e y':
z = y^{-3} \quad\Longrightarrow\quad z' = -3\,y^{-4}\,y'.
Como da equação original temos
y' = y + e^{-3x}y^{4},
substituímos em z':
z' = -3\,y^{-4}\bigl(y + e^{-3x}y^{4}\bigr) = -3\,y^{-3} \;-\;3\,e^{-3x}.
Mas y^{-3}=z, logo
z' = -3\,z \;-\;3\,e^{-3x}.

Passo 3

Reescrevemos z' como uma equação linear padrão:
z' + 3\,z = -3\,e^{-3x}.
Aqui o coeficiente de z é 3 e o termo não homogêneo é -3\,e^{-3x}.

Passo 4

Resolvemos usando fator integrante \mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}. Multiplicando ambos os lados por e^{3x}:
(e^{3x}z)' = -3.
Integramos em x:
e^{3x}z = -3x + C,
onde C é constante de integração. Portanto
z = (-3x + C)\,e^{-3x}.

Passo 5

Voltando à variável y, temos
y^{-3} = z = (C - 3x)\,e^{-3x} \quad\Longrightarrow\quad y^{3} = \frac{e^{3x}}{C - 3x} \quad\Longrightarrow\quad y = \biggl(\frac{e^{3x}}{C - 3x}\biggr)^{\!1/3} = \frac{e^{x}}{(C - 3x)^{1/3}}.

Resposta

y(x) = \frac{e^{x}}{(C - 3x)^{1/3}},
onde C é constante arbitrária.

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