Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me mandou:
Aqui estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar achar uma função potencial que, quando derivada, nos dá os termos que estão na equação. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam $ dr $ e $ d\theta $. Chamamos elas de $ M(r, \theta) $ e $ N(r, \theta) $ respectivamente. Então:
Para a equação ser exata, a derivada de $ M $ em relação a $ \theta $ tem que ser igual à derivada de $ N $ em relação a $ r $. Vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial \theta} $:
Agora, calculando $ \frac{\partial N}{\partial r} $:
Vemos que $ \frac{\partial M}{\partial \theta} = \frac{\partial N}{\partial r} $, então a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função $ \Phi(r, \theta) $ tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar essa função $ \Phi(r, \theta) $. Para isso, integramos $ M $ em relação a $ r $:
A integral de $ \cos r $ é $ \sin r $, então:
Aqui, $ h(\theta) $ é uma função que depende só de $ \theta $.
Passo 5
Agora, vamos determinar $ h(\theta) $ usando a derivada de $ \Phi $ em relação a $ \theta $. Sabemos que:
Calculando a derivada:
Igualando com $ N $:
Isso implica que:
Integrando, obtemos:
onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante.