Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
(theta^2+1) cos r d r+2 theta sen r d theta=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me mandou:
(theta^2+1) cos r , dr + 2 theta sin r , dtheta = 0
Aqui estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar achar uma função potencial que, quando derivada, nos dá os termos que estão na equação. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam $ dr $ e $ d\theta $. Chamamos elas de $ M(r, \theta) $ e $ N(r, \theta) $ respectivamente. Então:
dr
dtheta
Para a equação ser exata, a derivada de $ M $ em relação a $ \theta $ tem que ser igual à derivada de $ N $ em relação a $ r $. Vamos verificar isso.

Passo 3

Calculando $ \frac{\partial M}{\partial \theta} $:
partial Mpartial theta
Agora, calculando $ \frac{\partial N}{\partial r} $:
partial Mpartial theta = 2theta cos r
Vemos que $ \frac{\partial M}{\partial \theta} = \frac{\partial N}{\partial r} $, então a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função $ \Phi(r, \theta) $ tal que:
partial Npartial r

Passo 4

Agora, vamos encontrar essa função $ \Phi(r, \theta) $. Para isso, integramos $ M $ em relação a $ r $:
Phi(r, theta)
A integral de $ \cos r $ é $ \sin r $, então:
M
Aqui, $ h(\theta) $ é uma função que depende só de $ \theta $.

Passo 5

Agora, vamos determinar $ h(\theta) $ usando a derivada de $ \Phi $ em relação a $ \theta $. Sabemos que:
h(theta)
Calculando a derivada:
Phi
Igualando com $ N $:
theta
Isso implica que:
partial Phipartial theta = N = 2 theta sin r
Integrando, obtemos:
partial Phipartial theta = 2theta sin r + h'(theta)
onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
(theta^2+1) sin r = C
onde $ C $ é uma constante.

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