A equação diferencial que descreve um oscilador harmônico amortecido é:
d^2 x(t)d t^2+2 gamma d x(t)d t+omega0^2 x(t)=0
com condições iniciais x(0)=x0 e x^prime(0)=v0.
(a) Qual é a interpretação física de cada termo da equação?
(b) Mostre que a solução no espaço de Laplace, isto é, x(s), é dada por:
x(s)=x0 cdot s+gamma(s+gamma)^2+b^2+(v0+gamma x0) cdot 1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico amortecido descrito por
d^2x(t)dt^2 + 2gamma,dx(t)dt + omega0^2,x(t) = 0
com x(0)=x0 e x'(0)=v0.
Conteúdo: interpretação física dos termos e uso de transformada de Laplace para obter X(s).

Passo 2

Cada termo da equação tem interpretação física (para massa unitária):
d^2xdt^2 é a aceleração (termo de inércia).
2gamma,dxdt é a força de amortecimento (proporcional à velocidade).
omega0^2,x é a força restauradora elástica (lei de Hooke).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace Lcdot à equação e usamos
Lx''=s^2X(s)-s,x0-v0 e Lx'=s,X(s)-x0.
(s^2X - s,x0 - v0) ;+;2gamma,(s,X - x0);+;omega0^2X ;=;0
Agrupando X(s):
X(s),[s^2+2gamma s+omega0^2] = s,x0 + v0 + 2gamma,x0

Passo 4

Isolando X(s) e completando o quadrado no denominador:
X(s) = s,x0 + v0 + 2gamma,x0s^2+2gamma s+omega0^2 = s,x0 + v0 + 2gamma,x0(s+gamma)^2 + (omega0^2-gamma^2)
Defina b^2 = omega0^2-gamma^2. No numerador escreva
s,x0 + v0 + 2gamma,x0 = x0(,s+gamma,) + (,v0+gamma,x0,),
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X(s) = x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2 ;+;(v0+gamma,x0),1(s+gamma)^2+b^2

Resposta

(a) Termos em ddot x representam inércia, em 2gammadot x amortecimento e em omega0^2x força restauradora elástica.
(b)
x(s) = x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2 ;+;(v0+gamma x0),1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2 = omega0^2-gamma^2.

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