A solução do oscilador harmônico amortecido no espaço-
é:
,
com
. No caso subamortecido, temos
, ou seja,
.
(a) Esse seria o caso de um sistema massa-mola com baixa dissipação de energia. Intuitivamente, descreva o comportamento da solução
ao longo do tempo. Faça um esboço para ilustrar sua intuição.
(b) Confirme formalmente sua intuição obtendo
pela aplicação da transformada inversa de Laplace:
.
(c) Mostre que essa solução engloba o caso particular do oscilador harmônico simples (
).
com
(a) Esse seria o caso de um sistema massa-mola com baixa dissipação de energia. Intuitivamente, descreva o comportamento da solução
(b) Confirme formalmente sua intuição obtendo
(c) Mostre que essa solução engloba o caso particular do oscilador harmônico simples (
Passo 1
O enunciado dá a solução no domínio de Laplace de um oscilador harmônico amortecido
com
e pede:
(a) descrever intuitivamente o caso subamortecido ( ),
(b) obter ,
(c) mostrar que, para , recupera-se o oscilador simples.
(a) descrever intuitivamente o caso subamortecido (
(b) obter
(c) mostrar que, para
Passo 2
No regime subamortecido (
, logo
) o sistema oscila com frequência angular efetiva
enquanto perde energia, de modo que a amplitude decai exponencialmente. Em outras palavras, é uma senoide amortecida: cada pico successivo é menor que o anterior, obedecendo ao fator
. Um esboço qualitativo de
vs.
seria:
onde a “casca” superior e inferior seguem as curvas
e
.
Passo 3
Para inverter a transformada, usamos linearidade e o teorema do deslocamento:
se , então
se
Os pares conhecidos são
Logo, trocando
:
Pondo tudo junto:
Passo 4
No caso particular
temos
. Substituindo em
:
que é justamente a solução do oscilador harmônico simples.
Resposta
(a) No caso subamortecido,
oscila com frequência
e amplitude decrescente exponencialmente segundo
.
(b)
(b)
(c) Para
obtemos
a solução do oscilador harmônico simples.