A solução do oscilador harmônico amortecido no espaço- s é:
x(s)=x0 cdot s+gamma(s+gamma)^2+b^2+(v0+gamma x0) cdot 1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2. No caso subamortecido, temos b^2>0, ou seja, omega0^2>gamma^2.
(a) Esse seria o caso de um sistema massa-mola com baixa dissipação de energia. Intuitivamente, descreva o comportamento da solução x(t) ao longo do tempo. Faça um esboço para ilustrar sua intuição.
(b) Confirme formalmente sua intuição obtendo x(t) pela aplicação da transformada inversa de Laplace: L^-1x(s).
(c) Mostre que essa solução engloba o caso particular do oscilador harmônico simples ( gamma=0 ).

Passo 1

O enunciado dá a solução no domínio de Laplace de um oscilador harmônico amortecido
x(s)=x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2 +l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2 e pede:
(a) descrever intuitivamente o caso subamortecido ( b^2>0),
(b) obter x(t)=L^-1x(s),
(c) mostrar que, para gamma=0, recupera-se o oscilador simples.

Passo 2

No regime subamortecido ( , logo ) o sistema oscila com frequência angular efetiva enquanto perde energia, de modo que a amplitude decai exponencialmente. Em outras palavras, é uma senoide amortecida: cada pico successivo é menor que o anterior, obedecendo ao fator . Um esboço qualitativo de vs. seria:
onde a “casca” superior e inferior seguem as curvas e .

Passo 3

Para inverter a transformada, usamos linearidade e o teorema do deslocamento:
se Lf(t)(s)=F(s), então
L^-1F(s+gamma)(t)=e^-gamma tf(t)
Os pares conhecidos são
Lcos(bt) = ss^2+b^2, Lsin(bt) = bs^2+b^2
Logo, trocando sto s+gamma:
L^-1!ls+gamma(s+gamma)^2+b^2r = e^-gamma tcos(bt),
L^-1!l1(s+gamma)^2+b^2r = e^-gamma t,sin(bt)b
Pondo tudo junto:
x(t) = x0,e^-gamma tcos(bt) +l(v0+gamma x0r),e^-gamma t,sin(bt)b

Passo 4

No caso particular gamma=0 temos b^2=omega0^2Rightarrow b=omega0. Substituindo em x(t):
x(t) = x0cos(omega0t) + v0+0cdot x0omega0sin(omega0t) = x0cos(omega0t) + v0omega0sin(omega0t),
que é justamente a solução do oscilador harmônico simples.

Resposta

(a) No caso subamortecido, x(t) oscila com frequência b=raizomega0^2-gamma^2 e amplitude decrescente exponencialmente segundo e^-gamma t.
(b)
x(t) = e^-gamma tl[x0cos(bt) + v0+gamma x0b,sin(bt)r]
(c) Para gamma=0 obtemos
x(t) = x0cos(omega0t) + v0omega0sin(omega0t),
a solução do oscilador harmônico simples.

Exercícios relacionados