Considere o circuito R L, cuja equação diferencial é dada por:
L d i(t)d t+R i(t)=V0
(a) Obtenha e interprete a solução i(t) para o caso em que i(0)=i0 e V0=0.
(b) Obtenha e interprete a solução para o caso em que i(0)=0 e o circuito é conectado a uma fonte de tensão contínua V0.
(c) No circuito R C, após o capacitor estar totalmente carregado, a corrente se anula. No circuito R L, o que acontece com a corrente ao longo do tempo? Compare os dois comportamentos.

Passo 1

O enunciado trata do circuito série R!-!L cuja equação diferencial é
L d i(t)d t + R,i(t) = V0
Vamos estudar três situações:
  1. resposta natural (sem fonte, V0=0, com i(0)=i0),
  2. resposta ao degrau (fonte V0 aplicada em t=0, com i(0)=0),
  3. comparação do comportamento de corrente em R!-!L e em R!-!C.

Passo 2

Para o caso (a) colocamos V0=0. A equação fica
L d i(t)d t + R,i(t) = 0
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea. Separe variáveis:
d ii = -RL,dt
Integramos de 0 a t usando i(0)=i0:
lni(t)i0 = -RL,t Longrightarrow i(t) = i0,exp!l(-RL,tr)
Esta solução diz que, sem fonte, a corrente decai exponencialmente a zero com constante de tempo tau = L/R.

Passo 3

Para o caso (b) tomamos i(0)=0 e V0neq 0. A equação completa é
L d i(t)d t + R,i(t) = V0
Este é um problema de resposta forçada a um degrau. A solução geral é soma da homogênea com uma particular constante iinfty=V0/R. Fazendo coeficiente indeterminado, obtemos
i(t) = V0R + C,exp!l(-RL,tr)
Impondo i(0)=0
0 = V0R + C Longrightarrow C = -V0R,
logo
i(t) = V0R,l(1 - exp!l(-tfracRL,tr)r)
Isso mostra que, ao aplicar a tensão, a corrente cresce exponencialmente de 0 até o valor de regime permanente V0/R, com a mesma constante de tempo tau=L/R.

Passo 4

No circuito R!-!C, após o capacitor carregar-se completamente, a corrente cai a zero e permanece nula. No circuito R!-!L, ao contrário, na resposta natural a corrente também decai a zero, mas na resposta ao degrau de tensão ela tende a um valor constante V0/R. Em outras palavras, no circuito RC a energia fica armazenada no capacitor sem manter corrente no regime permanente, enquanto no circuito RL a energia fica encerrada no indutor e mantém corrente fluindo sem queda de tensão no estado estacionário.

Resposta

(a) i(t)=i0,exp!l(-tfracRLtr).
(b) i(t)=V0R,l(1-exp!l(-tfracRLtr)r).
(c) Em R!-!C a corrente vai a zero no regime permanente; em R!-!L a corrente natural vai a zero, mas sob tensão contínua tende a V0/R, mantendo fluxo de corrente.

Exercícios relacionados