De acordo com a Lei de Kirchhoff para conservação de energia, a equação diferencial de um circuito
é:
(a) Encontre a solução utilizando a transformada de Laplace.
(b) Com base na solução obtida, explique o comportamento da energia em um circuito
: ela é conservada? Como oscila entre os componentes?
(c) Qual é a carga máxima no capacitor nos seguintes casos:
-
e
;
-
e
;
-
e
?
(b) Com base na solução obtida, explique o comportamento da energia em um circuito
(c) Qual é a carga máxima no capacitor nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial do circuito LC
e pede:
(a) solução via transformada de Laplace;
(b) comportamento da energia no circuito;
(c) carga máxima no capacitor para diferentes condições iniciais.
Vamos usar transformada de Laplace em EDOs, análise de energia e cálculo de amplitude de oscilação.
(a) solução via transformada de Laplace;
(b) comportamento da energia no circuito;
(c) carga máxima no capacitor para diferentes condições iniciais.
Vamos usar transformada de Laplace em EDOs, análise de energia e cálculo de amplitude de oscilação.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
e definimos ,
. Assim,
e definimos
Reagrupando,
logo
Passo 3
Fazendo a transformada inversa e usando
, obtemos
e a corrente
Passo 4
A energia total do circuito é
Substituindo
e
e usando identidades trigonométricas, mostra-se que
é constante, confirmando conservação de energia. Durante a oscilação, a energia elétrica
é transferida para energia magnética
e vice-versa.
Passo 5
Como
é combinação de
e
, sua amplitude máxima é
Assim:
- se
, então ; - se
, então ; - se
e , então .
Resposta
(a)
(b) A energia total
é constante (conservada) e oscila entre energia elétrica no capacitor e energia magnética no indutor.
(c) A carga máxima no capacitor é
(c) A carga máxima no capacitor é
- para
e : ; - para
e : ; - para
e : .