De acordo com a Lei de Kirchhoff para conservação de energia, a equação diferencial de um circuito L C é:
L d^2 q(t)d t^2+1C q(t)=0
(a) Encontre a solução utilizando a transformada de Laplace.
(b) Com base na solução obtida, explique o comportamento da energia em um circuito L C : ela é conservada? Como oscila entre os componentes?
(c) Qual é a carga máxima no capacitor nos seguintes casos:
  • q0 neq 0 e i(0)=0;
  • q0=0 e i(0) neq 0;
  • q0 neq 0 e i(0) neq 0 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial do circuito LC
L d^2q(t)dt^2 + 1C,q(t) = 0
e pede:
(a) solução via transformada de Laplace;
(b) comportamento da energia no circuito;
(c) carga máxima no capacitor para diferentes condições iniciais.
Vamos usar transformada de Laplace em EDOs, análise de energia e cálculo de amplitude de oscilação.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que

e definimos , . Assim,
Reagrupando,
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Passo 3

Fazendo a transformada inversa e usando omega0^2=1/(LC), obtemos
q(t) = q0cos(omega0t) + i0omega0sin(omega0t),
e a corrente
i(t)=q'(t) = -q0,omega0sin(omega0t) + i0cos(omega0t)

Passo 4

A energia total do circuito é
E(t) = 12L,i^2(t) + 12C,q^2(t)
Substituindo q(t) e i(t) e usando identidades trigonométricas, mostra-se que E(t) é constante, confirmando conservação de energia. Durante a oscilação, a energia elétrica tfrac12Cq^2(t) é transferida para energia magnética tfrac12L,i^2(t) e vice-versa.

Passo 5

Como
q(t)=q0cos(omega0t)+i0omega0sin(omega0t)
é combinação de cos e sin, sua amplitude máxima é
qmax = raizq0^2 + l(tfraci0omega0r)^2 = raizq0^2 + (i0raizLC)^2
Assim:
  • se i0=0, então qmax=|q0|;
  • se q0=0, então qmax=i0raizLC;
  • se q0neq0 e i0neq0, então qmax=raizq0^2+(i0raizLC)^2.

Resposta

(a) q(t)=q0cosl(omega0tr)+i0omega0sinl(omega0tr), omega0=1raizLC
(b) A energia total
E = tfrac12L,i^2(t)+tfrac12Cq^2(t)
é constante (conservada) e oscila entre energia elétrica no capacitor e energia magnética no indutor.
(c) A carga máxima no capacitor é
  • para q0neq0 e i0=0: qmax=|q0|;
  • para q0=0 e i0neq0: qmax=i0raizLC;
  • para q0neq0 e i0neq0: qmax=raizq0^2+(i0raizLC)^2.

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