Obter a solução da Equação Diferencial do Calor
k partial^2 u(x, t)partial x^2=partial u(x, t)partial t , k>0,00
ll u(0, t)=0 & u(pi, t)=0 u(x, 0)=1

Passo 1

Resume da questão: temos a equação do calor k,uxx=ut em 0, t>0, com condições de contorno homogêneas u(0,t)=0, u(pi,t)=0 e condição inicial u(x,0)=1. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier em senos.

Passo 2

Assumimos u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE temos
k,X''(x),T(t)=X(x),T'(t)\nDividindo por kX(x)T(t) obtemos
X''(x)X(x)=T'(t)kT(t)=-lambda
Isso gera dois ODEs:
X''+lambda X=0, X(0)=X(pi)=0
T'+klambda T=0
O problema de autovalores em X lambdan=n^2, Xn=sin(nx). Para cada n, a parte temporal é Tn(t)=An e^-k n^2 t. Assim a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^infty An e^-k n^2 tsin(nx)

Passo 3

Impondo a condição inicial u(x,0)=1 temos
1=sumn=1^infty Ansin(nx)
Para obter An usamos a série de Fourier em senos em [0,pi]:
An=2piintegral0^pi1cdotsin(nx),dx=2pi n[1-(-1)^n]
Logo An=0 se n é par, e An=4/(pi n) se n é ímpar.

Passo 4

Substituindo An na soma, podemos reindexar usando n=2m+1 para captar só os ímpares. Assim obtemos a solução final:
u(x,t)=summ=0^infty4pi(2m+1),e^-k(2m+1)^2t,sinl((2m+1)xr)

Resposta

u(x,t)=summ=0^infty4pi(2m+1),e^-k(2m+1)^2t,sinl((2m+1)xr)

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