A série de Fourier de uma função f(x) em um intervalo simétrico -L é fornecida por:
f(x)=a02+sumn=1^infty[an cos (n piL x)+bn sen(n piL x)]
onde a0=1L integral-L^L f(x) d x , an=1L integral-L^L f(x) cos (n piL x) d x e bn=1L integral-L^L f(x) sen(n piL x) d x obter os coeficientes da série de Fourier para as funções fornecidas abaixo:
f(x)=x^2 para -pi

Passo 1

A função é f(x)=x² em [-π,π], e queremos expandi-la em série de Fourier nesse intervalo. O conteúdo é Série de Fourier em intervalo simétrico, e vamos usar as fórmulas padrão para a₀, aₙ e bₙ.

Passo 2

Como f(x)=x² é função par, já sabemos pela teoria que todos os coeficientes bₙ serão zero, pois bₙ envolve a integral de uma função ímpar em [-π,π].

Passo 3

Calcular a₀ usando a definição a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx com L=π:
a0=1piintegral-pi^pix^2,dx=2piintegral0^pix^2,dx=2picdotpi^33=2pi^23

Passo 4

Calcular aₙ para n≥1 usando
an=1piintegral-pi^pix^2cos(nx),dx=2piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando tabela), chega-se a
integral0^pix^2cos(nx),dx=2pi(-1)^nn^2,
portanto
an=2picdot2pi(-1)^nn^2=4(-1)^nn^2

Resposta

a₀=\tfrac{2\pi^{2}}{3}, \quad aₙ=\tfrac{4(-1){n}}{n{2}} (n\ge1), \quad bₙ=0.

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