Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma y^prime=f(x, y)g(x, y), onde f(x, y) e g(x, y) são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzindo uma mudança de variáveis do tipo v=yx. Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas:
y^prime=2 x y3 x^2-y^2,

Passo 1

Temos a e.d.o. homogênea y'=2xy3x^2-y^2. Nesse tipo de equação as funções do numerador e denominador são homogêneas de mesmo grau, então vamos usar a mudança de variável v= yx para reduzir a e.d.o. a variáveis separáveis.

Passo 2

Definindo y=v x temos y'=v + xdvdx. Substituindo na e.d.o. original:
v + xdvdx = 2v3-v^2
Isolando xdvdx obtemos:
xdvdx = 2v3-v^2 - v = v(v^2-1)3-v^2

Passo 3

Agora separamos variáveis:
3-v^2v(v^2-1),dv = dxx

Passo 4

Para integrar integral 3-v^2v(v^2-1),dv fazemos frações parciais e encontramos:
3-v^2v(v^2-1) = -3v + 1v-1 + 1v+1

Passo 5

Logo,
integral 3-v^2v(v^2-1),dv = -3ln|v| + ln|v-1| + ln|v+1| + C1
e
integral dxx = ln|x| + C2

Passo 6

Igualando as duas integrais e combinando constantes em um C só:
-3ln|v| + ln|v-1| + ln|v+1| = ln|x| + C
que leva a
lnl|(v-1)(v+1)v^3r| = ln|Cx|

Passo 7

Substituindo v= yx na relação (v-1)(v+1)v^3=Cx e reorganizando, obtemos a forma implícita da solução em y e x.

Resposta

y^2 - x^2 = C,y^3

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