Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma , onde e são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzindo uma mudança de variáveis do tipo . Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas: ,
Passo 1
Temos a e.d.o. homogênea . Nesse tipo de equação as funções do numerador e denominador são homogêneas de mesmo grau, então vamos usar a mudança de variável para reduzir a e.d.o. a variáveis separáveis.
Passo 2
Definindo temos . Substituindo na e.d.o. original:
Isolando obtemos:
Passo 3
Agora separamos variáveis:
Passo 4
Para integrar fazemos frações parciais e encontramos:
Passo 5
Logo,
e
Passo 6
Igualando as duas integrais e combinando constantes em um só:
que leva a
Passo 7
Substituindo v= yx na relação (v-1)(v+1)v^3=Cx e reorganizando, obtemos a forma implícita da solução em y e x.