Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função e suas derivadas. Quando a função contém apenas uma variável esta equação é chamada de equação diferencial ordinário (EDO). Em cada item, verifique se a função y=f(x) é solução da EDO indicada.
y=3 x^2+2 x^3 e x^2 y^prime-4 x y+6 y=0;

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 3x^2 + 2x^3
e a EDO
x^2y' - 4x,y + 6y = 0
O objetivo é verificar se, ao calcular y' e substituir na equação, a expressão resultante é identicamente zero. Se for, y é solução; caso contrário, não é.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y = 3x^2 + 2x^3 Longrightarrow y' = ddxl(3x^2 + 2x^3r) = 6x + 6x^2
Agora substituímos y e y' na EDO:
x^2y' - 4x,y + 6y = x^2(6x + 6x^2) ;-; 4x(3x^2 + 2x^3) ;+; 6(3x^2 + 2x^3)

Passo 3

Vamos expandir e somar termos semelhantes:
x^2(6x + 6x^2) = 6x^3 + 6x^4,
-4x(3x^2 + 2x^3) = -12x^3 - 8x^4,
6(3x^2 + 2x^3) = 18x^2 + 12x^3
Somando tudo:
6x^3 + 6x^4 ;-;12x^3 - 8x^4 ;+;18x^2 + 12x^3 = (6x^4-8x^4) + (6x^3-12x^3+12x^3) + 18x^2
= -2x^4 + 6x^3 + 18x^2 = -2x^2l(x^2 - 3x - 9r)
Essa expressão não é identicamente zero para todo x. Logo, a EDO não fica satisfeita.

Resposta

Não, y=3x^2+2x^3 não é solução da EDO dada.

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