Exercício 20 (D.L. 2.23)
Sejam A e B in Mn(R) tais que A B=B A. Mostre que se os fluxos dos campos lineares A e B são contrativos, então o fluxo do campo linear A+B também é contrativo.

Passo 1

O enunciado diz que A,Bin Mn(R) comutam, ou seja,
AB = BA,
e que os fluxos gerados pelos campos lineares x'=Ax e x'=Bx são contrativos:
|e^tA|<=1 e |e^tB|<=1 para todo t>=0
Queremos mostrar que o fluxo de x'=(A+B)x, dado por e^t(A+B), também é contrativo.

Passo 2

Como A e B comutam, um resultado clássico de exponenciais de matrizes garante que
e^t(A+B) ;=; e^tA,e^tB

Passo 3

Usamos a propriedade submultiplicativa da norma:
|e^t(A+B)| =|;e^tA,e^tB| <=|e^tA|;|e^tB|

Passo 4

Pelo fato de |e^tA|<=1 e |e^tB|<=1, concluímos
|e^t(A+B)|<=1cdot1=1,
o que mostra que o fluxo de A+B é contrativo.

Resposta

O fluxo de A+B satisfaz |e^t(A+B)|<=1 para todo t>=0, logo é contrativo.

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