Exercício 20 (D.L. 2.23)
Sejam
e
tais que
. Mostre que se os fluxos dos campos lineares
e
são contrativos, então o fluxo do campo linear
também é contrativo.
Sejam
Passo 1
O enunciado diz que
comutam, ou seja,
e que os fluxos gerados pelos campos lineares
e
são contrativos:
Queremos mostrar que o fluxo de
, dado por
, também é contrativo.
Passo 2
Como
e
comutam, um resultado clássico de exponenciais de matrizes garante que
Passo 3
Usamos a propriedade submultiplicativa da norma:
Passo 4
Pelo fato de
e
, concluímos
o que mostra que o fluxo de
é contrativo.
Resposta
O fluxo de
satisfaz
para todo
, logo é contrativo.