Exercício 19 (D.L. 2.16)
Seja A in Mn(R) um campo linear tal que o fluxo de A é contrativo. Mostre que lim t -infty|e^t A x|=+infty para cada x in R^n tal que x neq 0.

Passo 1

O enunciado diz que Ain Mn(R) é tal que o fluxo e^tA é contrativo, isto é, existe constante alpha>0 e M>=1 tais que
|e^tA|<= M e^-alpha t para todo t>=0
Queremos mostrar que, para qualquer xneq0,
limtto-infty|e^tAx|=+infty
O conteúdo usado será a decomposição de Jordan (ou diagonalização em C) e a relação entre o sinal de Re(lambda) dos autovalores de A e o comportamento exponencial de e^tA.

Passo 2

Primeiro, a contratividade do fluxo implica que todos os autovalores lambda1,dots,lambdan de A satisfazem
Re(lambdaj)<0
De fato, se algum Re(lambdaj)>=0, então a componente da solução numa cadeia de Jordan associada cresceria ou não decairia, contradizendo |e^tA|<= M e^-alpha t. Logo A é uma matriz de Hurwitz.

Passo 3

Complexificando, existe matriz invertível Pin GLn(C) tal que
J = P^-1AP
é a forma de Jordan de A. Se escrevemos x = P,y, então
e^tAx ;=;P,e^tJy

Passo 4

Cada bloco de Jordan Jk=lambdak I+N satisfaz N nilpotente e
e^tJk = e^tlambdake^tN = e^tlambdaksumm=0^dk-1t^mm!N^m,
onde dk é o tamanho do bloco. Assim as componentes de e^tJy são combinações de termos do tipo
t^m e^tlambdak

Passo 5

Para tto-infty definimos s=-t>0. Então
e^tlambdak = e^-slambdak, Re(-slambdak) = -s,Re(lambdak)>0,
pois Re(lambdak)<0. Logo cada termo t^m e^tlambdak se comporta como (-s)^m e^-slambdak e cresce exponencialmente em s. Como yneq0, existe algum bloco e alguma potência m tal que essa componente seja não nula, garantindo que
|e^tJy|;longrightarrow;+infty quando tto-infty
Multiplicando por P (invertível) não anula esse crescimento:
|e^tAx| =|P,e^tJy| >= |P^-1|^-1,|e^tJy| ;longrightarrow;+infty

Resposta

limtto-infty|e^tAx|=+infty para todo xneq0.

Exercícios relacionados