Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função e suas derivadas. Quando a função contém apenas uma variável esta equação é chamada de equação diferencial ordinário (EDO). Em cada item, verifique se a função y=f(x) é solução da EDO indicada.
y=x^-1[ln (x)+ln ^2(x)] e x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = x^-1l[ln(x) + ln^2(x)r]
satisfaz a EDO
x^2y'' - 3x y' + 4y = 0
O conteúdo é EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para checar a solução, vamos calcular y' e y'' em termos de u=ln(x) e depois substituir na equação.

Passo 2

Definindo u=ln(x), temos
y = x^-1(u + u^2)
Calculando y' por produto:
f = u + u^2, f' = 1+2ux, g = x^-1, g' = -x^-2,
y' = f',g + f,g' = 1+2ux,x^-1 - (u+u^2),x^-2 = 1+u - u^2x^2

Passo 3

Agora y''. Defina h = 1+u - u^2, então
h' = ddx(1+u-u^2) = 1-2ux, (x^-2)' = -2x^-3
Logo
y'' = h',x^-2 + h,(-2x^-3) = 1-2ux,x^-2 - 21+u-u^2x^3 = -1 -4u +2u^2x^3

Passo 4

Substituindo na EDO:
x^2y'' = -1 -4u +2u^2x, -3x y' = -3,1+u-u^2x, 4y = 4,u+u^2x
Somando:
x^2y'' -3x y' +4y = -1 -4u +2u^2 -3(1+u-u^2) +4(u+u^2)x = -4 -3u +9u^2x
O numerador -4 -3u +9u^2 não é zero para todo u, logo a expressão não se anula identicamente.

Resposta

A função não é solução da EDO dada.

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