• Calcule \iint_{s} \vec{F} \vec{n} d s, onde F(x, y, z)=y^{3} e^{z} \vec{i}-x y \vec{j}+x \operatorname{arctay} \vec{k} e seja a superfície da regiáo limitada pelos planos coordenados com o plano x+y+z=1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS
de \vec F=(y^{3}e^{z})\,\mathbf i - (x\,y)\,\mathbf j + \bigl(x\arctan y\bigr)\,\mathbf k
pela superfície fechada S do tetraedro limitado por x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1.
O conteúdo é o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo pela superfície fechada num integral de volume da divergência de \vec F.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\div\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(y^{3}e^{z}) +\frac{\partial}{\partial y}(-xy) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\arctan y\bigr) =0 - x + 0 =-x.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}\div\vec F\,dV =\iiint_{V}(-x)\,dV,
onde V é o tetraedro x\ge0, y\ge0, z\ge0, x+y+z\le1.

Passo 4

Vamos calcular
\iiint_{V}x\,dV =\int_{z=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1 - z}\!\int_{x=0}^{1 - y - z}x\,dx\,dy\,dz.
Internamente
\int_{0}^{1 - y - z}x\,dx =\frac{(1 - y - z)^{2}}{2},
depois
\int_{y=0}^{1 - z}\frac{(1 - y - z)^{2}}{2}\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{1 - z}u^{2}\,du =\frac{(1 - z)^{3}}{6},
e finalmente
\int_{0}^{1}\frac{(1 - z)^{3}}{6}\,dz =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{24}.

Passo 5

Logo
\iiint_{V}(-x)\,dV =-\iiint_{V}x\,dV =-\frac{1}{24}.

Resposta

\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS=-\frac{1}{24}.

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