Resolva as EDOs e PVI’s lineares de primeira ordem:
2 y^{\prime}(t)+y(t)=3 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
2\,y'(t)+y(t)=3\,t^{2}.
O conteúdo envolvido é o método do fator integrante para EDOs da forma
y'(t)+p(t)\,y(t)=g(t).

Passo 2

Dividimos tudo por 2 para ficar no formato padrão
y'(t)+\tfrac12\,y(t)=\tfrac32\,t^{2}.
Aqui temos
p(t)=\tfrac12, \quad g(t)=\tfrac32\,t^{2}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int\tfrac12\,dt\Bigr) =e^{t/2}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t), obtemos
e^{t/2}\,y'(t)+\tfrac12\,e^{t/2}\,y(t) =\tfrac32\,t^{2}\,e^{t/2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y(t)e^{t/2}, pois
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr) =e^{t/2}\,y'(t)+\tfrac12\,e^{t/2}\,y(t).

Passo 4

Assim
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr) =\tfrac32\,t^{2}\,e^{t/2}.
Integramos ambos os lados em relação a t:
y(t)\,e^{t/2} =\int \tfrac32\,t^{2}\,e^{t/2}\,dt + C.
Para calcular \displaystyle \int t^{2}e^{t/2}dt, usamos integração por partes duas vezes e achamos
\int t^{2}e^{t/2}dt =e^{t/2}\bigl(2t^{2}-8t+16\bigr).
Multiplicando por \tfrac32
\int \tfrac32\,t^{2}\,e^{t/2}dt =e^{t/2}\bigl(3t^{2}-12t+24\bigr).

Passo 5

Substituindo na expressão de y(t)e^{t/2} e isolando y(t), obtemos
y(t)\,e^{t/2} =e^{t/2}\bigl(3t^{2}-12t+24\bigr)+C \quad\Longrightarrow\quad y(t)=3t^{2}-12t+24 + C\,e^{-t/2}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(t)=3t^{2}-12t+24 + C\,e^{-t/2},
onde C é constante arbitrária.

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