A equação diferencial da forma
é conhecida como Equação de Clairaut.
(a) Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma
, em que
é uma constante arbitrária.
(b) Resolva a EDO
.
(a) Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma
(b) Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado dá a equação
chamada Equação de Clairaut, e pede duas coisas:
(a) Mostrar que uma solução é da forma , onde
é constante arbitrária.
(b) Resolver a equação específica
(a) Mostrar que uma solução é da forma
(b) Resolver a equação específica
Informações relevantes: a função
aparece aplicada à derivada
. Em (b) temos
se escrevemos
. A solução pedida em (a) é uma família de retas dependente de uma constante
.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação útil e explicar por que ela ajuda: defina
Assim a equação pode ser lida como uma identidade entre
,
e
:
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Quando eu derivo termos que dependem de
, vou usar a regra da cadeia: a derivada de
é
. Vou usar isso no passo seguinte.
Passo 3
Diferencio a identidade
em relação a
. Lembre que
. Aplicando a derivação termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (produto: derivada de é vezes mais vezes ). - Derivada de
é (regra da cadeia).
Portanto obtemos
Subtraindo
dos dois lados:
Essa equação produto é fundamental: o produto de dois fatores é zero, então pelo princípio do zero do produto temos duas possibilidades ponto a ponto: ou
ou
.
Passo 4
Analiso a primeira possibilidade
. Isso significa que
é constante:
para alguma constante
. Como
, temos
. Integrando
em
obtemos
onde
é constante de integração. Mas esta
deve satisfazer também a equação original
. Substituindo
na equação original obtemos
Comparando com
vemos que
tem de ser
. Logo a solução obtida é
onde
é constante arbitrária. Isso responde (a): mostrar que uma solução tem essa forma. Também verifique diretamente: se você define
, então
e substituindo na equação original fica
, que é verdadeira.
Passo 5
Agora trato a segunda possibilidade que apareceu no passo 3:
. Essa condição pode produzir uma solução singular (envelope das retas da família acima). Para (b) aplicamos com
. Primeiro calcule
:
A condição
torna-se
Lembre que
, então
. Integro essa equação para obter
:
Mas preciso garantir que
satisfaça a equação original sem um termo extra: substituo
na identidade
. Fazendo isso diretamente,
Portanto a constante de integração
deve ser zero para que a identidade original seja satisfeita: a solução singular é
Passo 6
Resumo e interpretação rápida (útil para a prova): para uma Equação de Clairaut as soluções regulares vêm da condição
, levando à família de retas
. A solução singular (quando existe) vem da condição
que dá
em função de
; substituindo em
obtemos a curva envelope. No caso específico de (b) com
obtemos a família de retas e a parábola singular encontrada acima. Uma forma alternativa de obter a singular é eliminar
entre
e
, que dá a mesma condição
.
Resposta
(a)
.\n(b) Família geral:
. Singular (envelope):
.