A equação diferencial da forma y=x y^{\prime}+f\left(y^{\prime}\right) é conhecida como Equação de Clairaut.
(a) Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma y=c x+f\text{(c)}, em que c é uma constante arbitrária.
(b) Resolva a EDO y=x y^{\prime}+\frac{1}{2} \cdot\left(y^{\prime}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x\,y' + f\bigl(y'\bigr)
chamada Equação de Clairaut, e pede duas coisas:
(a) Mostrar que uma solução é da forma \;y = c x + f\text{(c)}\;, onde c é constante arbitrária.
(b) Resolver a equação específica
y = x\,y' + \tfrac{1}{2}\bigl(y'\bigr)^2.
Informações relevantes: a função f aparece aplicada à derivada y'. Em (b) temos f(p)=\tfrac{1}{2}p^2 se escrevemos p=y'. A solução pedida em (a) é uma família de retas dependente de uma constante c.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação útil e explicar por que ela ajuda: defina
p(x) = y'(x).
Assim a equação pode ser lida como uma identidade entre y(x), x e p(x):
y(x) = x\,p(x) + f\bigl(p(x)\bigr).
Aqui p é a derivada de y em relação a x. Quando eu derivo termos que dependem de p(x), vou usar a regra da cadeia: a derivada de f(p(x)) é f'\bigl(p(x)\bigr)\cdot p'(x). Vou usar isso no passo seguinte.

Passo 3

Diferencio a identidade y = x p + f(p) em relação a x. Lembre que y' = p. Aplicando a derivação termo a termo:
  • Derivada de y é y' = p.
  • Derivada de x p(x) é p + x p' (produto: derivada de x é 1 vezes p mais x vezes p').
  • Derivada de f(p(x)) é f'\bigl(p(x)\bigr)\,p' (regra da cadeia).
    Portanto obtemos
p = p + x p' + f'\bigl(p\bigr)\,p'.
Subtraindo p dos dois lados:
0 = \bigl(x + f'\bigl(p\bigr)\bigr)\,p'.
Essa equação produto é fundamental: o produto de dois fatores é zero, então pelo princípio do zero do produto temos duas possibilidades ponto a ponto: ou p'(x)=0 ou x + f'(p(x))=0.

Passo 4

Analiso a primeira possibilidade p'(x)=0. Isso significa que p(x) é constante: p(x)=c para alguma constante c. Como p=y', temos y' = c. Integrando y' = c em x obtemos
y(x) = c x + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Mas esta y deve satisfazer também a equação original y = x y' + f(y'). Substituindo y' = c na equação original obtemos
y = x c + f\text{(c)}.
Comparando com y = c x + C_1 vemos que C_1 tem de ser f\text{(c)}. Logo a solução obtida é
\boxed{y = c x + f\text{(c)}}
onde c é constante arbitrária. Isso responde (a): mostrar que uma solução tem essa forma. Também verifique diretamente: se você define y(x)=c x + f\text{(c)}, então y'=c e substituindo na equação original fica c x + f\text{(c)} = x c + f\text{(c)}, que é verdadeira.

Passo 5

Agora trato a segunda possibilidade que apareceu no passo 3: x + f'(p)=0. Essa condição pode produzir uma solução singular (envelope das retas da família acima). Para (b) aplicamos com f(p)=\tfrac{1}{2}p^2. Primeiro calcule f'(p):
f(p)=\tfrac{1}{2}p^2 \quad\Rightarrow\quad f'(p)=p.
A condição x + f'(p)=0 torna-se
x + p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = -x.
Lembre que p=y', então y' = -x. Integro essa equação para obter y:
y = \int (-x)\,dx = -\tfrac{1}{2}x^2 + C_2.
Mas preciso garantir que y satisfaça a equação original sem um termo extra: substituo p=-x na identidade y = x p + \tfrac{1}{2}p^2. Fazendo isso diretamente,
y = x(-x) + \tfrac{1}{2}(-x)^2 = -x^2 + \tfrac{1}{2}x^2 = -\tfrac{1}{2}x^2.
Portanto a constante de integração C_2 deve ser zero para que a identidade original seja satisfeita: a solução singular é
\boxed{y = -\tfrac{1}{2}x^2.}

Passo 6

Resumo e interpretação rápida (útil para a prova): para uma Equação de Clairaut as soluções regulares vêm da condição p'=0, levando à família de retas y = c x + f\text{(c)}. A solução singular (quando existe) vem da condição x + f'(p)=0 que dá p em função de x; substituindo em y = x p + f(p) obtemos a curva envelope. No caso específico de (b) com f(p)=\tfrac{1}{2}p^2 obtemos a família de retas e a parábola singular encontrada acima. Uma forma alternativa de obter a singular é eliminar c entre y=cx+\tfrac{1}{2}c^2 e \tfrac{\partial y}{\partial c}=0, que dá a mesma condição x+c=0.

Resposta

(a) y = c x + f\text{(c)}.\n(b) Família geral: y = c x + \tfrac{1}{2}c^{2}. Singular (envelope): y = -\tfrac{1}{2}x^{2}.

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