A equação diferencial da forma y=x y^prime+f(y^prime) é conhecida como Equação de Clairaut.
Resolva a EDO y=x y^prime+12 cdot(y^prime)^2.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial
Temos a EDO na forma de Clairaut:
y = x,y' + f(y')
com f(p)=tfrac12p^2 e p=y'. O conteúdo aqui é a Equação de Clairaut, e vamos precisar usar sua formulação padrão: existe uma família de retas (solução geral) e uma solução singular obtida como invólucro (envelope).

Passo 2

Para achar a solução geral, lembramos que na equação de Clairaut a inclinação p=y' pode ser tratada como parâmetro constante C. Substituindo p=C em
y = x,p + tfrac12p^2
obtemos a família de retas
y = Cx + tfrac12 C^2,
que é a solução geral, com C parâmetro arbitrário.

Passo 3

Para encontrar a solução singular (o envelope dessa família), diferenciamos a solução geral em relação ao parâmetro C e igualamos a zero:
0 = partialpartial Cl(Cx + tfrac12C^2r) = x + C
Isso dá C = -x. Substituindo de volta em y = Cx + tfrac12C^2 resulta na solução singular:
y = -x^2 + tfrac12x^2 = -tfrac12x^2

Passo 4

Pronto! Temos a solução geral e a singular da EDO de Clairaut dada.

Resposta

Solução geral: y = Cx + tfrac12C^2. Solução singular: y = -tfrac12x^2.

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