A equação diferencial da forma
é conhecida como Equação de Clairaut.
Resolva a EDO
.
Resolva a EDO
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
Temos a EDO na forma de Clairaut:
com
e
. O conteúdo aqui é a Equação de Clairaut, e vamos precisar usar sua formulação padrão: existe uma família de retas (solução geral) e uma solução singular obtida como invólucro (envelope).
Passo 2
Para achar a solução geral, lembramos que na equação de Clairaut a inclinação
pode ser tratada como parâmetro constante
. Substituindo
em
obtemos a família de retas
que é a solução geral, com
parâmetro arbitrário.
Passo 3
Para encontrar a solução singular (o envelope dessa família), diferenciamos a solução geral em relação ao parâmetro
e igualamos a zero:
Isso dá
. Substituindo de volta em
resulta na solução singular:
Passo 4
Pronto! Temos a solução geral e a singular da EDO de Clairaut dada.
Resposta
Solução geral:
. Solução singular:
.