Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
y^prime+1x y=(cos x) y^-2, y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada usando as técnicas das Equações de Bernoulli e Riccati. O enunciado é:
y' + 1x y = (cos x) y^-2, y(1) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação não linear, e para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma que possamos resolver, utilizando substituições específicas para Equações de Bernoulli e Riccati.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em resolver essa equação como uma Equação de Bernoulli. A Equação de Bernoulli tem a forma geral:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso, temos:
P(x) = 1x, Q(x) = cos x, n = -2
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:
v = y^n+1 = y^-1

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de v = y^-1 dvdx = -y^-2 y' em relação a y' = -y^2 dvdx :
Rearranjando para :

Passo 4

Substituímos -y^2 dvdx + 1x y = cos x y^-2 na equação original:
-y^2 dvdx cdot y^2 + 1x y cdot y^2 = cos x - dvdx + 1x y^3 = cos x
Agora, dividimos todos os termos por - dvdx + 1x v^-3 = cos x :
Mas, como , temos , então :
Isso parece complicar, então vamos ajustar nossa substituição.

Passo 5

Na verdade, a substituição correta para Bernoulli é:
Definimos v = y^3 dvdx = 3 y^2 y' (já que y' = 13 y^2 dvdx ).
Então:
Rearranjando para :

Passo 6

Substituímos 13 y^2 dvdx + 1x y = cos x y^-2 na equação original:
dvdx + 3x y^3 = 3 cos x
Multiplicamos todos os termos por dvdx + 3x v = 3 cos x para simplificar:
Como , temos:
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 7

Para resolver a equação linear:
dvdx + P(x) v = Q(x)
Onde:
P(x) = 3x, Q(x) = 3 cos x
Precisamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 3x dx = e^3 ln x = x^3 :

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^3 dvdx + 3 x^2 v = 3 x^3 cos x
Isso simplifica para:
ddx (x^3 v) = 3 x^3 cos x
Agora, integramos ambos os lados:
x^3 v = 3 integral x^3 cos x , dx + C

Passo 9

Vamos resolver a integral integral x^3 cos x , dx = x^3 sin x - integral 3x^2 sin x , dx por partes, onde:
  • integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2 integral x cos x , dx e integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x
  • Então, integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2 (x sin x + cos x) = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x e integral x^3 cos x , dx = x^3 sin x - 3 (-x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x) = x^3 sin x + 3x^2 cos x - 6x sin x - 6 cos x
Aplicando a integração por partes:
Repetimos a integração por partes para :
  • ,
  • ,
Então:
Mais uma vez, integração por partes para :
  • ,
  • ,
Então:
Voltando:
Então:

Passo 10

Voltando à equação:
x^3 v = 3 (x^3 sin x + 3x^2 cos x - 6x sin x - 6 cos x) + C x^3 v = 3x^3 sin x + 9x^2 cos x - 18x sin x - 18 cos x + C
Dividindo por v = 3 sin x + 9x cos x - 18x^2 sin x - 18x^3 cos x + Cx^3 :

Passo 11

Lembrando que y^3 = 3 sin x + 9x cos x - 18x^2 sin x - 18x^3 cos x + Cx^3 , temos:
1^3 = 3 sin 1 + 91 cos 1 - 181^2 sin 1 - 181^3 cos 1 + C1^3 1 = 3 sin 1 + 9 cos 1 - 18 sin 1 - 18 cos 1 + C 1 = -15 sin 1 - 9 cos 1 + C C = 1 + 15 sin 1 + 9 cos 1
Para encontrar a solução particular, usamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = raiz[3], 3 sin x + 9x cos x - 18x^2 sin x - 18x^3 cos x + 1 + 15 sin 1 + 9 cos 1x^3 ,

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