Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada usando as técnicas das Equações de Bernoulli e Riccati. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação não linear, e para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma que possamos resolver, utilizando substituições específicas para Equações de Bernoulli e Riccati.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em resolver essa equação como uma Equação de Bernoulli. A Equação de Bernoulli tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Rearranjando para
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Agora, dividimos todos os termos por
:
Mas, como
, temos
, então
:
Isso parece complicar, então vamos ajustar nossa substituição.
Passo 5
Na verdade, a substituição correta para Bernoulli é:
Definimos
(já que
).
Então:
Rearranjando para
:
Passo 6
Substituímos
na equação original:
Multiplicamos todos os termos por
para simplificar:
Como
, temos:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 7
Para resolver a equação linear:
Onde:
Precisamos encontrar o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 9
Vamos resolver a integral
por partes, onde:
-
e - Então,
e
Aplicando a integração por partes:
Repetimos a integração por partes para
:
-
, -
,
Então:
Mais uma vez, integração por partes para
:
-
, -
,
Então:
Voltando:
Então:
Passo 10
Voltando à equação:
Dividindo por
:
Passo 11
Lembrando que
, temos:
Para encontrar a solução particular, usamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: