A equação diferencial
é conhecida como Equação de Ricatti.
a) Ache uma família de soluções a um parâmetro para a equação diferencial
, onde
é uma solução conhecida da equação.
b) Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular
da equação. O processo, para isso, é o que segue:
- A substituição
transforma a equação de Ricatti em uma equação de Bernoulli com
.
- A equação de Bernoulli, por sua vez, pode então ser reduzida para uma equação linear pela substituição
.
Sendo assim:
I. Mostre que, de fato, a substituição
reduz a equação de Ricatti para uma equação de Bernoulli com
.
II. Mostre que a consecutiva substituição
, por sua vez, transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear da seguinte forma:
a) Ache uma família de soluções a um parâmetro para a equação diferencial
b) Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular
I. Mostre que, de fato, a substituição
II. Mostre que a consecutiva substituição
Passo 1
O enunciado pede a família de soluções a um parâmetro para a equação de Riccati
sabendo uma solução particular
. Em seguida, devemos mostrar de forma geral que as substituições
e
transformam a Riccati numa equação de Bernoulli de expoente
e depois numa equação linear.
Passo 2
Na equação dada, identifique
Fazendo a substituição específica
temos
Substituindo em
obtemos
Simplificando dos dois lados e cancelando
, fica
que é uma equação de Bernoulli com
.
Passo 3
Para resolver
use a substituição
. Então
e, substituindo
,
ou seja
O fator integrante é
, logo
Assim
Voltando a
,
Passo 4
Em geral, para
e uma solução particular
, faça
. Então
e
Como
satisfaz
, subtraindo essa parte vem
que é Bernoulli com
.
Passo 5
Para essa Bernoulli
use
. Calcula-se
Rearranjando,
que é uma equação linear.
Resposta
a) A família de soluções é
com
constante.
b) I. A substituição leva a
b) I. A substituição
uma equação de Bernoulli de grau
.
II. A seguir, dá
II. A seguir,
uma equação linear.