A equação diferencial \frac{d y}{d x}=P(x)+Q(x) y+R(x) y^{2} \quad é conhecida como Equação de Ricatti.
a) Ache uma família de soluções a um parâmetro para a equação diferencial \frac{d y}{d x}=-\frac{4}{x^{2}}-\frac{1}{x} y+y^{2}, onde y_{1}=\frac{2}{x} é uma solução conhecida da equação.
b) Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular y_{1} da equação. O processo, para isso, é o que segue:
  • A substituição y=y_{1}+u transforma a equação de Ricatti em uma equação de Bernoulli com n=2.
  • A equação de Bernoulli, por sua vez, pode então ser reduzida para uma equação linear pela substituição w=u^{-1}.
Sendo assim:
I. Mostre que, de fato, a substituição y=y_{1}+u reduz a equação de Ricatti para uma equação de Bernoulli com n=2.
II. Mostre que a consecutiva substituição w=u^{-1}, por sua vez, transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear da seguinte forma:
\frac{d w}{d x}+\left(Q(x)+2 R(x) y_{1}\right) w=-R(x)

Passo 1

O enunciado pede a família de soluções a um parâmetro para a equação de Riccati
\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^2} - \frac{1}{x}\,y + y^2
sabendo uma solução particular y_1 = \tfrac{2}{x}. Em seguida, devemos mostrar de forma geral que as substituições y=y_1+u e w=u^{-1} transformam a Riccati numa equação de Bernoulli de expoente n=2 e depois numa equação linear.

Passo 2

Na equação dada, identifique
P(x) = -\frac{4}{x^2},\quad Q(x) = -\frac{1}{x},\quad R(x) = 1.
Fazendo a substituição específica
y = \frac{2}{x} + u,
temos
y' = -\frac{2}{x^2} + \frac{du}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx}=P+Qy+Ry^2 obtemos
-\frac{2}{x^2} + u' = -\frac{4}{x^2} - \frac{1}{x}\Bigl(\frac{2}{x}+u\Bigr) + \Bigl(\frac{2}{x}+u\Bigr)^2.
Simplificando dos dois lados e cancelando -2/x^2, fica
u' = \frac{3}{x}\,u + u^2,
que é uma equação de Bernoulli com n=2.

Passo 3

Para resolver
u' - \frac{3}{x}u = u^2,
use a substituição w = u^{-1}. Então
\frac{dw}{dx} = -u^{-2}\,u'
e, substituindo u',
w' = -\frac{3}{x}\,w - 1,
ou seja
\frac{dw}{dx} + \frac{3}{x}\,w = -1.
O fator integrante é \mu(x)=e^{\int 3/x\,dx}=x^3, logo
(x^3 w)' = -x^3 \quad\Longrightarrow\quad x^3 w = -\frac{x^4}{4} + C.
Assim
w = -\frac{x}{4} + C x^{-3}, \qquad u = \frac{1}{w} = \frac{4x^3}{4C - x^4}.
Voltando a y,
y = \frac{2}{x} + \frac{4x^3}{4C - x^4}.

Passo 4

Em geral, para
\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x)\,y + R(x)\,y^2
e uma solução particular y_1, faça y=y_1+u. Então
y' = y_1' + u'
e
y' = P + Q(y_1+u) + R(y_1+u)^2 = \bigl(P+Qy_1+Ry_1^2\bigr) + \bigl(Q+2R y_1\bigr)u + R u^2.
Como y_1 satisfaz y_1' = P+Qy_1+Ry_1^2, subtraindo essa parte vem
u' = \bigl(Q+2R y_1\bigr)u + R u^2,
que é Bernoulli com n=2.

Passo 5

Para essa Bernoulli
u' - \bigl(Q+2R y_1\bigr)u = R u^2,
use w = u^{-1}. Calcula-se
w' = -u^{-2}u' = -u^{-2}\Bigl[(Q+2R y_1)u + R u^2\Bigr] = -\bigl(Q+2R y_1\bigr)w - R.
Rearranjando,
\frac{dw}{dx} + \bigl(Q+2R y_1\bigr)w = -R,
que é uma equação linear.

Resposta

a) A família de soluções é
y(x) = \frac{2}{x} + \frac{4x^3}{4C - x^4},
com C constante.
b) I. A substituição y=y_1+u leva a
u' = \bigl(Q+2R y_1\bigr)u + R u^2,
uma equação de Bernoulli de grau n=2.
II. A seguir, w=u^{-1}
\frac{dw}{dx} + \bigl(Q+2R y_1\bigr)w = -R,
uma equação linear.

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