O modelo \frac{d P}{d t}=k P, onde k>0 é chamado de lei malthusiana (ou lei exponencial) para o crescimento de uma população P(t). Ele nos diz que a taxa na qual uma população cresce em um determinado instante é proporcional a população total naquele instante. Este é o modelo mais simples utilizado para o estudo de crescimento populacional e sua eficiência é maior para populações pequenas. Usando a lei malthusiana, estime a população norte-americana em função do tempo, sabendo que em 1790 a população dos Estados Unidos era de 3,93 milhões e em 1890 era de 62,98 milhões.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo diferencial da lei malthusiana
\frac{dP}{dt}=kP,
onde P(t) é a população em milhões no ano t e k>0 a constante de crescimento. Temos os dados: em 1790, P=3{,}93 e em 1890, P=62{,}98. Vamos usar isso para encontrar a solução geral P(t) e determinar k.

Passo 2

Resolvendo a equação separável \frac{dP}{dt}=kP, integramos:
\int\frac{1}{P}\,dP = \int k\,dt
o que dá
\ln P = kt + C.
Exponenciando, a solução geral é
P(t)=A e^{kt},
em que A=e^C. Como escolhemos t=0 para o ano de 1790, a condição inicial P(0)=3{,}93 implica
A=3{,}93.

Passo 3

Para encontrar k, usamos o valor em 1890, que corresponde a t=100. Temos
P(100)=3{,}93\,e^{100k}=62{,}98
Logo,
e^{100k}=\frac{62{,}98}{3{,}93}\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{100}\ln\!\biggl(\frac{62{,}98}{3{,}93}\biggr)\approx0{,}02773\\ (\text{ano}^{-1}).

Resposta

A estimativa da população em função do ano t é
P(t)=3{,}93\exp\bigl[0{,}02773\,(t-1790)\bigr]\quad(\text{milhões}).õ

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