O modelo
, onde
é chamado de lei malthusiana (ou lei exponencial) para o crescimento de uma população
. Ele nos diz que a taxa na qual uma população cresce em um determinado instante é proporcional a população total naquele instante. Este é o modelo mais simples utilizado para o estudo de crescimento populacional e sua eficiência é maior para populações pequenas. Usando a lei malthusiana, estime a população norte-americana em função do tempo, sabendo que em 1790 a população dos Estados Unidos era de 3,93 milhões e em 1890 era de 62,98 milhões.
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo diferencial da lei malthusiana
onde
é a população em milhões no ano
e
a constante de crescimento. Temos os dados: em 1790,
e em 1890,
. Vamos usar isso para encontrar a solução geral
e determinar
.
Passo 2
Resolvendo a equação separável
, integramos:
o que dá
Exponenciando, a solução geral é
em que
. Como escolhemos
para o ano de 1790, a condição inicial
implica
Passo 3
Para encontrar
, usamos o valor em 1890, que corresponde a
. Temos
Logo,
Resposta
A estimativa da população em função do ano
é