Utilize a integral dupla para obter a área de um disco de raio a.

Passo 1

O enunciado pede a área de um disco de raio a usando integral dupla. O conteúdo envolve definir o domínio do disco em coordenadas cartesianas, passar para coordenadas polares e usar o fator Jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o disco D é dado por
D = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 \le a^2\},
e a área é
\iint_{D} 1 \,dA.

Passo 3

Para simplificar a integral, passamos a coordenadas polares, onde x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e dA = r\,dr\,d\theta. O disco corresponde a
0 \le r \le a, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Logo,
\iint_{D} 1 \,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{a} r \,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{a} r \,dr = \biggl[\frac{r^2}{2}\biggr]_{0}^{a} = \frac{a^2}{2}.
Em seguida, integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{a^2}{2} \,d\theta = \frac{a^2}{2}\,\bigl[\,\theta\,\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{a^2}{2}\cdot 2\pi = \pi a^2.

Resposta

A área do disco de raio a é \pi a^2.

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