Uma E.D.O (Equação Diferencial Ordinária) é linear, se puder ser escrita como
an(x) d^n yd x^n+an-1(x) d^n-1 yd x^n-1+ldots+a1(x) d yd x+a0(x) y=g(x)
Caso contrário, dizemos que a edo é não linear. De acordo com essa definição, determine se as edos abaixo, são lineares ou não.
e^x y^prime prime prime+(1+x^2+5 x^3) y^prime prime+raizx y^prime+(ln (x)) y=tan (x)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos determinar se a equação diferencial dada é linear ou não. Esse é um exercício de classificação de EDOs de acordo com a forma geral de uma EDO linear de ordem n.

Passo 2

Definição de EDO linear: uma EDO é linear se puder ser escrita como
an(x)d^nydx^n+an-1(x)d^n-1ydx^n-1+dots+a1(x)dydx+a0(x)y=g(x)
ou seja, cada derivada de y aparece multiplicada apenas por uma função de x e y não participa de forma não linear (como potências ou produtos entre derivadas).

Passo 3

Analisando a equação dada:
e^xy'''+l(1+x^2+5x^3r)y''+raizx,y'+ln(x),y=tan(x)
vemos que cada termo envolvendo y, y’, y’’ e y’’’ está multiplicado exclusivamente por funções de x ( e^x, 1+x^2+5x^3, raizx, ln(x)) e a parte direita tan(x) é só função de x.

Passo 4

Verificação de não não-linearidades: não há produtos entre y e suas derivadas, nem potências de y ou de y’ acima de 1, nem funções não lineares de y. Portanto, todos os termos obedecem à forma linear.

Passo 5

Conclusão: como todos os coeficientes são funções apenas de x e não há termos não lineares em y ou em suas derivadas, a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial apresentada é linear.

Exercícios relacionados