Resolva a E.D.O, utilizando o método do fator integrante.
y^prime-4 y=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando fator integrante: temos y' - 4y = 8. O conteúdo é E.D.O. linear e vamos precisar identificar a forma padrão y' + p(x)y = q(x) e calcular o fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a ODE na forma padrão y' + p(x)y = q(x). Aqui, p(x) = -4 e q(x) = 8, pois já está em y' - 4y = 8.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x), que satisfaz mu(x) = e^integral p(x),dx. Assim,
mu(x) = e^integral -4,dx = e^-4x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=e^-4x. Isso dá
e^-4xy' - 4e^-4xy = 8e^-4x
Note que o lado esquerdo é a derivada de e^-4xy:
ddxl(e^-4xyr) = 8e^-4x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^-4xyr),dx = integral 8e^-4x,dx,
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e^-4xy = 8cdote^-4x-4 + C = -2e^-4x + C

Passo 6

Finalmente, isolamos y multiplicando por e^4x:
y(x) = -2 + Ce^4x

Resposta

y(x) = Ce^{4x} - 2

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