Uma equação diferencial parcial (E.D.P.) é uma equação que envolve derivadas parciais de uma função z=f(x, y).
A equação de Laplace é a E.D.P.
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0
Mostre que u(x, y)=e^x sen y é solução da equação de Laplace, isto é, u(x, y) satisfaz a E.D.P. As soluções desta E.D.P. são importante no estudo da condução do calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente mostrar que a função $ u(x, y) = e^{x} \sin y $ é uma solução da Equação de Laplace, que é uma Equação Diferencial Parcial (E.D.P.). A Equação de Laplace é importante em áreas como condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $, e verificar se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Em funções de várias variáveis, como $ u(x, y) $, as derivadas parciais medem como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Aqui, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $ e a segunda em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Como $ \sin y $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $, a derivada fica:
x

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de $ u $ em relação a $ y $:
u
Aqui, $ e^{x} $ é constante em relação a $ y $, então a derivada é:
y

Passo 6

Agora, calculamos a segunda derivada de $ u $ em relação a $ y $:
u

Passo 7

Com as segundas derivadas em mãos, vamos somá-las conforme a Equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = e^x sin y + (-e^x sin y) = 0

Resposta

A soma das segundas derivadas é zero, ou seja,
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Portanto, $ u(x, y) = e^{x} \sin y $ é realmente uma solução da Equação de Laplace.

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