Integrar os sistemas de equações diferenciais
l 4 d xd t-d yd t+3 x=sen t d xd t+y=cos t

Passo 1

O sistema dado é
4dxdt-dydt+3x=sin t, dxdt+y=cos t
é um sistema linear em x e y. Vamos eliminá-lo transformando numa equação só em x. Para isso, vamos usar o método de eliminação.

Passo 2

Da segunda equação isolamos y e calculamos sua derivada. Temos
y=cos t-dxdt,
então derivando em t:
dydt=-sin t-d^2xdt^2

Passo 3

Substituímos y’ na primeira equação:
4dxdt-l(-sin t-d^2xdt^2r)+3x=sin t
Isso vira
4x'+sin t+ x''+3x=sin t
e simplificando o sin t dos dois lados dá
x''+4x'+3x=0,
uma EDO homogênea de segunda ordem.

Passo 4

Resolvendo a característica r^2+4r+3=0 achamos raízes r=-1 e r=-3. Logo a solução geral para x é
x(t)=C1e^-t+C2e^-3t

Passo 5

Substituindo em y=cos t- x' obtemos
x'(t)=-C1e^-t-3C2e^-3t,
logo
y(t)=cos t +C1e^-t+3C2e^-3t

Resposta

x(t)=C_1e{-t}+C_2e{-3t},\quad y(t)=\cos t + C_1e{-t}+3C_2e{-3t}

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