Integrar os sistemas de equações diferenciais
Passo 1
O sistema dado é
é um sistema linear em x e y. Vamos eliminá-lo transformando numa equação só em x. Para isso, vamos usar o método de eliminação.
Passo 2
Da segunda equação isolamos y e calculamos sua derivada. Temos
então derivando em t:
Passo 3
Substituímos y’ na primeira equação:
Isso vira
e simplificando o
dos dois lados dá
uma EDO homogênea de segunda ordem.
Passo 4
Resolvendo a característica
achamos raízes
e
. Logo a solução geral para x é
Passo 5
Substituindo em
obtemos
logo
Resposta
x(t)=C_1e{-t}+C_2e{-3t},\quad y(t)=\cos t + C_1e{-t}+3C_2e{-3t}