Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d yd x+2 y+z=sen x d zd x+4 y-2 z=cos x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema linear de EDOs de primeira ordem em y(x) e z(x), dado por \ y'+2y+z=sin x z'+4y-2z=cos x. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes, e vamos usar o método de eliminação transformando num EDO de segunda ordem em y.

Passo 2

Isolar z na primeira equação e derivar: da primeira equação vem \ z=sin x - y' -2y Derivando essa expressão temos \ y''+2y'+z'=cos x Mas da segunda equação z'=-4y+2z+cos x. Substituindo em y''+2y'+z'=cos x e depois z=sin x - y' -2y, chega-se a
$ y''-8y=-2sin x

Passo 3

Resolver a EDO y''-8y=-2sin x: a homogênea y''-8y=0 tem raiz característica r^2-8=0, ou seja r=pm2raiz2, logo \ yh=C1e^2raiz2 x+C2e^-2raiz2 x Para a particular propomos yp=Asin x+Bcos x. Substituindo em y''-8y obtém-se -9Asin x-9Bcos x=-2sin x+0cos x, logo A=2/9, B=0. Assim
$ y(x)=C1e^2raiz2 x+C2e^-2raiz2 x+29sin x

Passo 4

Encontrar z(x): usamos z=sin x - y' -2y. Calculando y' e substituindo em z=sin x - y' -2y e simplificando, chega-se a
$ z(x)=-C1(2raiz2+2)e^2raiz2 x+C2(2raiz2-2)e^-2raiz2 x+59sin x-29cos x

Resposta

As soluções gerais são
y(x)=C1e^2raiz2 x+C2e^-2raiz2 x+29sin x,
z(x)=-C1(2raiz2+2)e^2raiz2 x+C2(2raiz2-2)e^-2raiz2 x+59sin x-29cos x

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