Resolver pelo método da transformada de Laplace.
d^3 xd t^3+x=1 para x(0)=d xd t(0)=d^2 xd t^2(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem x'''(t) + x(t) = 1 com condições iniciais x(0)=x'(0)=x''(0)=0. O conteúdo é Transformada de Laplace: vamos usar as propriedades de transformada de derivadas, decomposição em frações parciais e inversão para achar x(t).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando X(s)= Lx(t), temos por condições iniciais nulas:
Lx'''(t)=s^3X(s), Lx(t)=X(s),
então
s^3X(s)+X(s)=1sLongrightarrow X(s)=1s,(s^3+1)

Passo 3

Fatoramos o polinômio s^3+1=(s+1)(s^2-s+1) e fazemos frações parciais:
1s(s+1)(s^2-s+1)= A s+ Bs+1+Cs+Ds^2-s+1
Resolvendo coeficientes obtemos A=1, B=-tfrac13, C=-tfrac23 e D=tfrac13. Logo
X(s)=1s-131s+1+-23s+13s^2-s+1

Passo 4

Para inverter a última parcela, completamos o quadrado: s^2-s+1=(s-tfrac12)^2+l(tfracraiz32r)^2
Reescrevemos o numerador como -tfrac23(s-tfrac12). Assim
X(s)=1s-131s+1-2/3,(s-1/2)(s-1/2)^2+(raiz3/2)^2
Invertendo cada termo:
L^-11/s=1, L^-11/(s+1)=e^-t, L^-1tfracs-1/2(s-1/2)^2+(raiz3/2)^2=e^t/2cosl(tfracraiz32tr)

Passo 5

Somando as inversas, chegamos à solução:
x(t)=1-13e^-t-23e^t/2cosl(raiz32tr)

Resposta

x(t)=1-tfrac13e^-t-tfrac23e^t/2cosl(tfracraiz32tr).

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