Essa equação diferencial pode ser resolvida usando separação de variáveis?
\frac{d y}{d x}=3 e^{x y}
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
(B) Não

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=3e^{xy}
e pergunta se ela pode ser resolvida por separação de variáveis, escolhendo entre (A) Sim ou (B) Não.

Passo 2

O que significa “separação de variáveis”?\n
Separação de variáveis é um método que serve quando a equação pode ser posta na forma
g(y)\,dy = f(x)\,dx,
isto é, quando é possível escrever o lado que contém y apenas como uma função de y multiplicando dy, e o lado que contém x apenas como uma função de x multiplicando dx. Depois integra-se ambos os lados:
\int g(y)\,dy = \int f(x)\,dx + C.
Resumo prático: a equação é separável se conseguir escrever \dfrac{dy}{dx}=F(x)\,G(y) com F só em x e G só em y.

Passo 3

Tentar separar a equação dada de forma direta:\n
A equação é
\frac{dy}{dx}=3e^{xy}.
Escrevendo diferencialmente,
dy = 3e^{xy}\,dx.
Para ter separação queríamos algo como h(y)\,dy = k(x)\,dx. No membro da direita temos e^{xy}, que depende ao mesmo tempo de x e de y. Não é imediatamente um produto de uma função só de x por uma função só de y.

Passo 4

Verificação mais formal: quando e^{xy} seria separável?\n
Suponha, por hipótese, que exista separação, isto é, que
e^{xy}=A(x)\,B(y)
para certas funções A e B. Tome logaritmo (válido porque e^{xy}>0):
xy = \ln A(x) + \ln B(y).
O lado esquerdo depende de x e y multiplicativamente; o lado direito é soma de uma função só de x com uma função só de y. Para essa igualdade valer para todo x,y na região de interesse, derivando em relação a x (tratando y como constante) obtemos
y = \frac{A'(x)}{A(x)}.
O lado esquerdo y é função de y (constante quando derivamos), enquanto o lado direito depende apenas de x. A única forma de isso ocorrer para todos os x,y é se y for constante, o que não é o caso para uma equação diferencial geral. Portanto a igualdade é impossível em geral: e^{xy} não se decompõe como produto de algo só em x por algo só em y.

Passo 5

Conclusão sobre separabilidade\n
Como não é possível escrever e^{xy} na forma F(x)G(y) para funções F e G não triviais, a equação
\frac{dy}{dx}=3e^{xy}
não é separável. Ou seja, não se resolve por separação de variáveis diretamente.

Passo 6

Observações didáticas e um exemplo de contraste (para fixar a ideia)\n
  • Exemplo separável típico: \dfrac{dy}{dx}=x y^2. Aqui já está na forma F(x)G(y) com F(x)=x e G(y)=y^2. Podemos escrever \frac{dy}{y^2}=x\,dxe integrar ambos os lados.
  • No nosso problema, o termo e^{xy} mistura x e y de um jeito que impede essa fatoração em F(x)G(y). Por isso não aplicamos o procedimento acima.
  • Observação final motivadora: não conseguir separar não significa que a equação não tenha solução — pode haver técnicas alternativas (substituições, séries, métodos numéricos etc.). Mas a pergunta específica sobre “usar separação de variáveis” tem resposta negativa.

Resposta

(B)

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