Essa equação diferencial pode ser resolvida usando separação de variáveis?
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
(B) Não
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
(B) Não
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pergunta se ela pode ser resolvida por separação de variáveis, escolhendo entre (A) Sim ou (B) Não.
Passo 2
O que significa “separação de variáveis”?\n
Separação de variáveis é um método que serve quando a equação pode ser posta na forma
Separação de variáveis é um método que serve quando a equação pode ser posta na forma
isto é, quando é possível escrever o lado que contém
apenas como uma função de
multiplicando
, e o lado que contém
apenas como uma função de
multiplicando
. Depois integra-se ambos os lados:
Resumo prático: a equação é separável se conseguir escrever
com
só em
e
só em
.
Passo 3
Tentar separar a equação dada de forma direta:\n
A equação é
A equação é
Escrevendo diferencialmente,
Para ter separação queríamos algo como
. No membro da direita temos
, que depende ao mesmo tempo de
e de
. Não é imediatamente um produto de uma função só de
por uma função só de
.
Passo 4
Verificação mais formal: quando
seria separável?\n
Suponha, por hipótese, que exista separação, isto é, que
Suponha, por hipótese, que exista separação, isto é, que
para certas funções
e
. Tome logaritmo (válido porque
):
O lado esquerdo depende de
e
multiplicativamente; o lado direito é soma de uma função só de
com uma função só de
. Para essa igualdade valer para todo
na região de interesse, derivando em relação a
(tratando
como constante) obtemos
O lado esquerdo
é função de
(constante quando derivamos), enquanto o lado direito depende apenas de
. A única forma de isso ocorrer para todos os
é se
for constante, o que não é o caso para uma equação diferencial geral. Portanto a igualdade é impossível em geral:
não se decompõe como produto de algo só em
por algo só em
.
Passo 5
Conclusão sobre separabilidade\n
Como não é possível escrever na forma
para funções
e
não triviais, a equação
Como não é possível escrever
não é separável. Ou seja, não se resolve por separação de variáveis diretamente.
Passo 6
Observações didáticas e um exemplo de contraste (para fixar a ideia)\n
- Exemplo separável típico:
. Aqui já está na forma com e . Podemos escrever e integrar ambos os lados. - No nosso problema, o termo
mistura e de um jeito que impede essa fatoração em . Por isso não aplicamos o procedimento acima. - Observação final motivadora: não conseguir separar não significa que a equação não tenha solução — pode haver técnicas alternativas (substituições, séries, métodos numéricos etc.). Mas a pergunta específica sobre “usar separação de variáveis” tem resposta negativa.
Resposta
(B)