(a) Encontre a solução da equação homogênea associada
(b) Use o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
(c) Escreva a solução geral
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma exponencial y=e^{rx}. Substituindo nesta equação obtemos a equação característica:
r^3-3r^2+2r=0.
Fatorando o polinômio:
r(r^2-3r+2)=r(r-1)(r-2)=0.
As raízes são r=0,\; r=1,\; r=2. Cada raiz real simples dá uma solução fundamental e^{rx}. Portanto uma base de soluções da homogênea é
Agora vamos aplicar o método da variação de parâmetros para achar uma solução particular y_p\) da equação completa. A ideia do método: procurar uma solução da forma
\[y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+u_3(x)y_3(x),
onde y_1,y_2,y_3 são as soluções fundamentais da homogênea (aquelas que encontramos) e u_1,u_2,u_3 são funções a determinar. Para fixar u_i impomos as três condições usuais (para simplificar os termos das derivadas):
Expando pela segunda coluna (só o elemento central é não-zero na forma que facilitamos), ou expandindo pela primeira coluna: expandindo pela primeira coluna dá
Essa expressão é uma solução particular da equação não-homogênea (qualquer escolha de constantes nos u_i só adicionaria combinações das soluções homogêneas, então a parte não-homogênea fica representada por essa expressão).
Passo 7
Finalmente escrevo a solução geral da equação não-homogênea como soma da homogênea com a particular: