Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial
com as condições iniciais
O que o problema pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e essas duas condições iniciais. As informações relevantes são: a parte homogênea associada é
e o termo não-homogêneo (forçante) é
.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos
, o que leva a
As raízes são
. Quando as raízes são imaginárias
, a solução geral real da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui eu explico por que:
, então combinações lineares das partes reais e imaginárias geram
e
, que formam a base de soluções reais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Método que vamos usar: coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). A ideia é escolher um “chute” para
com forma parecida com o lado direito
. Normalmente tentaríamos
Mas cuidado:
e
já são soluções da homogênea
. Isso cria ressonância — o chute precisa ser multiplicado por
para obter uma forma independente das soluções homogêneas. Portanto escolhemos o ansatz (chute)
Explicando de forma simples: quando o termo na direita coincide com uma solução da homogênea, multiplicamos por
para tentar uma solução particular que não esteja na solução homogênea.
Passo 4
Vamos calcular
e
passo a passo. Começamos escrevendo
Derivando (usando regra do produto:
),
Primeira derivada:
Para organizar, agrupamos termos sem
e com
:
Segunda derivada: derivamos cada parcela.
Derivada de é
.
Derivada de pela regra do produto é
Derivada de
Derivada de
Somando as duas partes obtemos
Passo 5
Agora substituímos
e
na equação
. Temos
Repare que os termos com
se cancelam:
Fica então
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes de
e
,
Portanto a solução particular é
Passo 6
Construímos a solução geral da equação completa somando homogênea e particular:
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição:
. Calculando
Como
, segue
.
Segunda condição:
. Precisamos de
. Já derivamos a parte particular anteriormente em termos de
e
; usando
e
obtemos a derivada do termo particular:
Substituindo
,
Derivada da parte homogênea (com
) é
. Portanto
Avalie em
:
Igualando a
(a condição inicial), obtemos
Passo 7
Portanto a solução do problema de valor inicial é
Um resumo rápido do raciocínio: resolvemos a homogênea, notamos ressonância com a forçante
e multiplicamos o ansatz por
, determinamos os coeficientes do particular e aplicamos as condições iniciais para fixar as constantes. Você conseguiu — esse tipo de ODE volta bastante em provas, e a ideia-chave é sempre checar se a forçante está na solução homogênea (aí multiplica por
).