Resolva o problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y=\sin x, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial
y''+y=\sin x,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
O que o problema pede é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e essas duas condições iniciais. As informações relevantes são: a parte homogênea associada é y''+y=0 e o termo não-homogêneo (forçante) é \sin x.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
y_h''+y_h=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos y_h=e^{rx}, o que leva a
r^2+1=0.
As raízes são r=\pm i. Quando as raízes são imaginárias \pm i, a solução geral real da homogênea é
y_h=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui eu explico por que: e^{ix}=\cos x + i\sin x, então combinações lineares das partes reais e imaginárias geram \cos x e \sin x, que formam a base de soluções reais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y''+y=\sin x.
Método que vamos usar: coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). A ideia é escolher um “chute” para y_p com forma parecida com o lado direito \sin x. Normalmente tentaríamos
y_p = A\cos x + B\sin x.
Mas cuidado: \cos x e \sin x já são soluções da homogênea y_h. Isso cria ressonância — o chute precisa ser multiplicado por x para obter uma forma independente das soluções homogêneas. Portanto escolhemos o ansatz (chute)
y_p = x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Explicando de forma simples: quando o termo na direita coincide com uma solução da homogênea, multiplicamos por x para tentar uma solução particular que não esteja na solução homogênea.

Passo 4

Vamos calcular y_p' e y_p'' passo a passo. Começamos escrevendo
y_p = A x\cos x + B x\sin x.
Derivando (usando regra do produto: (uv)'=u'v+uv'),
Primeira derivada:
y_p' = A\cos x - A x\sin x + B\sin x + B x\cos x.
Para organizar, agrupamos termos sem x e com x:
y_p' = \bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) + x\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr).
Segunda derivada: derivamos cada parcela.
Derivada de \bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) é -A\sin x + B\cos x.
Derivada de x\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) pela regra do produto é
\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) + x\bigl(-A\cos x - B\sin x\bigr).
Somando as duas partes obtemos
y_p'' = 2\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) + x\bigl(-A\cos x - B\sin x\bigr).

Passo 5

Agora substituímos y_p e y_p'' na equação y''+y=\sin x. Temos
y_p'' + y_p = \bigl[2(-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x)\bigr] + x(A\cos x + B\sin x).
Repare que os termos com x se cancelam:
x(-A\cos x - B\sin x) + x(A\cos x + B\sin x) = 0.
Fica então
y_p''+y_p = -2A\sin x + 2B\cos x.
Queremos que isso seja igual a \sin x. Igualando coeficientes de \sin x e \cos x,
-2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{2},
2B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto a solução particular é
y_p = x\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos x + 0\cdot\sin x\bigr) = -\tfrac{1}{2}x\cos x.

Passo 6

Construímos a solução geral da equação completa somando homogênea e particular:
y(x)=y_h+y_p = C_1\cos x + C_2\sin x -\tfrac{1}{2}x\cos x.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeira condição: y(0)=0. Calculando
y(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0 -\tfrac{1}{2}\cdot 0\cdot\cos 0 = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + 0 = C_1.
Como y(0)=0, segue C_1=0.
Segunda condição: y'(0)=1. Precisamos de y'(x). Já derivamos a parte particular anteriormente em termos de A e B; usando A=-\tfrac{1}{2} e B=0 obtemos a derivada do termo particular:
(y_p)' = A\cos x + B\sin x + x(-A\sin x + B\cos x).
Substituindo A=-\tfrac{1}{2}, B=0,
(y_p)' = -\tfrac{1}{2}\cos x + x\bigl(\tfrac{1}{2}\sin x\bigr).
Derivada da parte homogênea (com C_1=0) é (C_2\sin x)' = C_2\cos x. Portanto
y'(x)=C_2\cos x -\tfrac{1}{2}\cos x + \tfrac{1}{2}x\sin x.
Avalie em x=0:
y'(0)=C_2\cos 0 -\tfrac{1}{2}\cos 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 0\cdot\sin 0 = C_2 - \tfrac{1}{2}.
Igualando a 1 (a condição inicial), obtemos
C_2 - \tfrac{1}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \tfrac{3}{2}.

Passo 7

Portanto a solução do problema de valor inicial é
y(x)=\tfrac{3}{2}\sin x - \tfrac{1}{2}x\cos x.
Um resumo rápido do raciocínio: resolvemos a homogênea, notamos ressonância com a forçante \sin x e multiplicamos o ansatz por x, determinamos os coeficientes do particular e aplicamos as condições iniciais para fixar as constantes. Você conseguiu — esse tipo de ODE volta bastante em provas, e a ideia-chave é sempre checar se a forçante está na solução homogênea (aí multiplica por x).

Resposta

y(x)=\tfrac{3}{2}\sin x - \tfrac{1}{2}x\cos x

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