Um tanque contém 250 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma salmoura contendo 2 gramas de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
; a solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. Determine
de gramas de sal no tanque no instante t . Determine
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Volume inicial do tanque:
. - Quantidade inicial de sal no tanque:
. - Salmoura que entra: concentração
. - Vazão de entrada:
. - Vazão de saída:
(mesma vazão, então o volume no tanque permanece constante). - A solução fica perfeitamente misturada no tanque.
As perguntas pedidas são:
- Determinar
, a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante (minutos). - Determinar
.
(Observação: o enunciado escreveu; vou interpretar a variável de tempo como .)
Passo 2
Montamos a equação de balanço de massa: a taxa de variação de sal no tanque é
Calculemos cada taxa (em
):
-
Taxa de entrada: concentração da salmoura que entra
vazão de entrada. -
Taxa de saída: a solução no tanque tem concentração
(porque há gramas em litros). Multiplicando pela vazão de saída: Simplificando a fração:
Portanto a equação diferencial é
Passo 3
Reconhecemos uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
com
e
. Vou resolver usando o fator integrante (método padrão e direto).
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo
Passo 4
Integramos ambos os lados em
:
Calcule a integral à direita: como
, aqui
, então
Faça a multiplicação:
. Assim
Dividindo por
obtemos a solução geral
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na solução:
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 6
Interpretação e limite quando
:
- O termo exponencial
tende a quando . Logo - Esse valor faz sentido físico: no regime permanente a concentração no tanque se iguala à da entrada (porque vazões iguais), ou seja
. Em isso dá , que coincide com o resultado.