Um tanque contém 250 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma salmoura contendo 2 gramas de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 8 \mathrm{~L} / \mathrm{min}; a solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. Determine A(t) de gramas de sal no tanque no instante t . Determine \lim _{x \rightarrow \infty} A(t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Volume inicial do tanque: \,250\\ \mathrm{L}.
  • Quantidade inicial de sal no tanque: \,30\\ \mathrm{g}.
  • Salmoura que entra: concentração \,2\\ \mathrm{g/L}.
  • Vazão de entrada: \,8\\ \mathrm{L/min}.
  • Vazão de saída: \,8\\ \mathrm{L/min} (mesma vazão, então o volume no tanque permanece constante).
  • A solução fica perfeitamente misturada no tanque.
As perguntas pedidas são:
  1. Determinar \,A(t), a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante \,t (minutos).
  2. Determinar \lim_{t\to\infty} A(t).
    (Observação: o enunciado escreveu \lim_{x\to\infty}A(t); vou interpretar a variável de tempo como \,t.)

Passo 2

Montamos a equação de balanço de massa: a taxa de variação de sal no tanque é
\frac{dA}{dt} = \text{taxa de entrada de sal} - \text{taxa de saída de sal}.í
Calculemos cada taxa (em \mathrm{g/min}):
  • Taxa de entrada: concentração da salmoura que entra \times vazão de entrada.
    \text{taxa entrada} = 2\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}} \times 8\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}} = 16\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{min}}.
  • Taxa de saída: a solução no tanque tem concentração \dfrac{A(t)}{250}\\ \mathrm{g/L} (porque há \,A(t) gramas em \,250 litros). Multiplicando pela vazão de saída:
    \text{taxa saída} = \frac{A(t)}{250}\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}} \times 8\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}} = \frac{8}{250}\,A(t)\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{min}}.í
    Simplificando a fração:
    \frac{8}{250}=\frac{4}{125}.
Portanto a equação diferencial é
\frac{dA}{dt} = 16 - \frac{4}{125}\,A(t).

Passo 3

Reconhecemos uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
\frac{dA}{dt} + p\,A = q,
com p=\dfrac{4}{125} e q=16. Vou resolver usando o fator integrante (método padrão e direto).
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{4}{125}\,dt\right)=e^{\frac{4}{125}t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{\frac{4}{125}t}\frac{dA}{dt} + \frac{4}{125}e^{\frac{4}{125}t}A = 16\,e^{\frac{4}{125}t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\!\left(e^{\frac{4}{125}t}A\right). Logo
\frac{d}{dt}\!\left(e^{\frac{4}{125}t}A\right) = 16\,e^{\frac{4}{125}t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
e^{\frac{4}{125}t}A(t) = \int 16\,e^{\frac{4}{125}t}\,dt + C.
Calcule a integral à direita: como \int e^{a t} dt = \frac{1}{a} e^{a t}, aqui a=\dfrac{4}{125}, então
\int 16\,e^{\frac{4}{125}t}\,dt = 16\cdot\frac{1}{\frac{4}{125}}\,e^{\frac{4}{125}t} =16\cdot\frac{125}{4}\,e^{\frac{4}{125}t}.
Faça a multiplicação: 16\cdot\dfrac{125}{4}=(16/4)\cdot125=4\cdot125=500. Assim
e^{\frac{4}{125}t}A(t) = 500\,e^{\frac{4}{125}t} + C.
Dividindo por e^{\frac{4}{125}t} obtemos a solução geral
A(t) = 500 + C\,e^{-\frac{4}{125}t},
onde C é constante determinada pela condição inicial.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial A(0)=30. Substituindo t=0 na solução:
30 = A(0) = 500 + C\,e^{0} = 500 + C.
Logo
C = 30 - 500 = -470.
Portanto a solução particular é
A(t) = 500 - 470\,e^{-\frac{4}{125}t}.

Passo 6

Interpretação e limite quando t\to\infty:
  • O termo exponencial e^{-\frac{4}{125}t} tende a 0 quando t\to\infty. Logo \lim_{t\to\infty} A(t) = 500 - 470\cdot 0 = 500.
  • Esse valor faz sentido físico: no regime permanente a concentração no tanque se iguala à da entrada (porque vazões iguais), ou seja 2\\ \mathrm{g/L}. Em 250\\ \mathrm{L} isso dá 2\times250=500\\ \mathrm{g}, que coincide com o resultado.

Resposta

\displaystyle A(t)=500-470\,e^{-\frac{4}{125}t}.
\displaystyle \lim_{t\to\infty}A(t)=500\\ \mathrm{g}.

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