Use o método da variação de parâmetros para resolver:
y^{(4)}-y=e^{x}

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
y^{(4)}-y=e^{x}
Usos e objetivos claros:
  • Encontrar a solução geral y(x) da equação linear não-homogênea de quarta ordem.
  • O método exigido é o método da variação de parâmetros.
    Informações dadas: o lado direito é e^{x}. Não é preciso nenhum dado adicional.

Passo 2

Primeiro passo clássico: resolver a equação homogênea associada
y^{(4)}-y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{r x}:
r^{4}-1=0.
Fatorando r^{4}-1=(r-1)(r+1)(r^{2}+1) obtemos as raízes
r=1,\quad r=-1,\quad r=i,\quad r=-i.
Cada raiz produz uma solução fundamental. Assim um sistema fundamental de soluções é
y_{1}=e^{x},\quad y_{2}=e^{-x},\quad y_{3}=\cos x,\quad y_{4}=\sin x.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}\cos x+C_{4}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes.

Passo 3

Ideia da variação de parâmetros (esquema para quarta ordem):
Procuramos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}+u_{2}(x)y_{2}+u_{3}(x)y_{3}+u_{4}(x)y_{4},
onde u_{1},u_{2},u_{3},u_{4} são funções a determinar. Para simplificar as fórmulas impomos as três condições lineares usuais (reduzem termos com u_i' nas derivadas):
\begin{aligned} u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{3}'y_{3}+u_{4}'y_{4}&=0,\\\ u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{3}'y_{3}'+u_{4}'y_{4}'&=0,\\\ u_{1}'y_{1}''+u_{2}'y_{2}''+u_{3}'y_{3}''+u_{4}'y_{4}''&=0. \end{aligned}
A quarta equação vem ao substituir em y^{(4)}-y=e^{x}; usando as condições acima obtém-se
u_{1}'y_{1}'''+u_{2}'y_{2}'''+u_{3}'y_{3}'''+u_{4}'y_{4}'''=e^{x}.
Essas quatro equações lineares determinam u_{1}',u_{2}',u_{3}',u_{4}'. Vou chamar a=u_{1}',\,b=u_{2}',\,c=u_{3}',\,d=u_{4}' para facilitar.

Passo 4

Calculemos as derivadas das soluções fundamentais até a terceira derivada (vou expor tudo para você acompanhar):
\begin{aligned} y_{1}=e^{x},\;& y_{1}'=e^{x},\; y_{1}''=e^{x},\; y_{1}'''=e^{x},\\\ y_{2}=e^{-x},\;& y_{2}'=-e^{-x},\; y_{2}''=e^{-x},\; y_{2}'''=-e^{-x},\\\ y_{3}=\cos x,\;& y_{3}'=-\sin x,\; y_{3}''=-\cos x,\; y_{3}'''=\sin x,\\\ y_{4}=\sin x,\;& y_{4}'=\cos x,\; y_{4}''=-\sin x,\; y_{4}'''=-\cos x. \end{aligned}
Substituindo nas quatro equações para a,b,c,d obtemos o sistema
\begin{aligned} \text{(1)}\quad & a e^{x}+b e^{-x}+c\cos x + d\sin x = 0,\\\ \text{(2)}\quad & a e^{x}-b e^{-x}-c\sin x + d\cos x = 0,\\\ \text{(3)}\quad & a e^{x}+b e^{-x}-c\cos x - d\sin x = 0,\\\ \text{(4)}\quad & a e^{x}-b e^{-x}+c\sin x - d\cos x = e^{x}. \end{aligned}
É um sistema linear em a,b,c,d que depende de x; resolvê-lo dá as derivadas u_i'.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo (faça comigo):
  1. Some (1) com (3):
2a e^{x}+2b e^{-x}=0\quad\Rightarrow\quad a e^{x}+b e^{-x}=0.
Dessa relação obtemos
b=-a e^{2x}.
  1. Some (2) com (4):
2a e^{x}-2b e^{-x}=e^{x}.
Substituindo b=-a e^{2x} em -2b e^{-x} obtemos -2b e^{-x}= -2(-a e^{2x})e^{-x}=2a e^{x}. Assim a soma vira
2a e^{x}+2a e^{x}=4a e^{x}=e^{x}\quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{4}.
  1. Com a=\tfrac{1}{4} segue
b=-a e^{2x}=-\tfrac{1}{4}e^{2x}.
  1. Agora obtenha c,d. Subtraia (3) de (1):
2c\cos x +2d\sin x=0\quad\Rightarrow\quad c\cos x + d\sin x=0. \quad\text{(A)}
Subtraia (4) de (2):
-2c\sin x +2d\cos x = -e^{x}\quad\Rightarrow\quad -c\sin x + d\cos x = -\tfrac{1}{2}e^{x}.\quad\text{(B)}
O sistema em c,d é
\begin{aligned} c\cos x + d\sin x &= 0,\\\\ -c\sin x + d\cos x &= -\tfrac{1}{2}e^{x}. \end{aligned}
Escrevendo em forma matricial a matriz é
\begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix},
que tem determinante 1 (é rotacional), logo a inversa é a transposta. Multiplicando, obtemos
\begin{aligned} c &= \tfrac{1}{2}e^{x}\sin x,\\\ d &= -\tfrac{1}{2}e^{x}\cos x. \end{aligned}
Resumo das derivadas:
\begin{aligned} u_{1}'=a&=\tfrac{1}{4},\\\ u_{2}'=b&=-\tfrac{1}{4}e^{2x},\\\ u_{3}'=c&=\tfrac{1}{2}e^{x}\sin x,\\\ u_{4}'=d&=-\tfrac{1}{2}e^{x}\cos x. \end{aligned}

Passo 6

Integramos cada u_{i}' para obter u_{i}. Observação importante: as constantes de integração gerariam termos que pertencem à solução homogênea; por isso, para construir uma particular podemos tomar essas constantes iguais a zero (os parâmetros livres serão recuperados em y_{h}). Então fazemos as integrais sem constantes adicionais:
  1. \displaystyle u_{1}=\int \tfrac{1}{4}\,dx=\tfrac{x}{4}.
  2. \displaystyle u_{2}=\int -\tfrac{1}{4}e^{2x}\,dx=-\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x}=-\tfrac{1}{8}e^{2x}.
  3. Para u_{3} usamos a integral padrão \displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx=\tfrac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x). Assim
u_{3}=\int \tfrac{1}{2}e^{x}\sin x\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)=\tfrac{1}{4}e^{x}(\sin x-\cos x).
  1. Para u_{4} usamos \displaystyle\int e^{x}\cos x\,dx=\tfrac{1}{2}e^{x}(\sin x+\cos x). Assim
u_{4}=\int -\tfrac{1}{2}e^{x}\cos x\,dx=-\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}e^{x}(\sin x+\cos x)=-\tfrac{1}{4}e^{x}(\sin x+\cos x).

Passo 7

Construímos a solução particular
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+u_{3}y_{3}+u_{4}y_{4}.
Calculemos termo a termo (vou fatorar e^{x} quando aparecer para simplificar):
  1. u_{1}y_{1}=\tfrac{x}{4}e^{x}.
  2. u_{2}y_{2}=-\tfrac{1}{8}e^{2x}\cdot e^{-x}=-\tfrac{1}{8}e^{x}.
  3. u_{3}y_{3}=\tfrac{1}{4}e^{x}(\sin x-\cos x)\cos x=\tfrac{1}{4}e^{x}(\sin x\cos x-\cos^{2}x).
  4. u_{4}y_{4}=-\tfrac{1}{4}e^{x}(\sin x+\cos x)\sin x=-\tfrac{1}{4}e^{x}(\sin^{2}x+\sin x\cos x).
Somando os dois últimos termos:
u_{3}y_{3}+u_{4}y_{4}=\tfrac{1}{4}e^{x}\big(\sin x\cos x-\cos^{2}x-\sin^{2}x-\sin x\cos x\big) =-\tfrac{1}{4}e^{x}.
Logo, somando tudo:
y_{p}=\tfrac{x}{4}e^{x}-\tfrac{1}{8}e^{x}-\tfrac{1}{4}e^{x} =\tfrac{x}{4}e^{x}-\tfrac{3}{8}e^{x}.
Observação crucial: o termo -\tfrac{3}{8}e^{x} é proporcional a e^{x}, que já pertence à solução homogênea. Portanto podemos absorver esse termo nos constantes C_{1} da solução homogênea. Consequentemente, podemos escolher como particular mais simples
y_{p}^{\text{(simples)}}=\tfrac{1}{4}x e^{x},
que difere de y_{p} acima por um múltiplo de e^{x} (isto é admissível porque a solução geral tem liberdade para incorporar esse múltiplo).

Passo 8

Finalmente escrevemos a solução geral somando a homogênea com a particular escolhida:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}\cos x+C_{4}\sin x+\tfrac{1}{4}x e^{x},
com C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} constantes arbitrárias.
Força aí — com variação de parâmetros deu trabalho, mas a parte boa é que a particular ficou bem simples no final!

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}\cos x+C_{4}\sin x+\tfrac{1}{4}x e^{x}

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