onde u_{1},u_{2},u_{3},u_{4} são funções a determinar. Para simplificar as fórmulas impomos as três condições lineares usuais (reduzem termos com u_i' nas derivadas):
Substituindo nas quatro equações para a,b,c,d obtemos o sistema
\begin{aligned} \text{(1)}\quad & a e^{x}+b e^{-x}+c\cos x + d\sin x = 0,\\\ \text{(2)}\quad & a e^{x}-b e^{-x}-c\sin x + d\cos x = 0,\\\ \text{(3)}\quad & a e^{x}+b e^{-x}-c\cos x - d\sin x = 0,\\\ \text{(4)}\quad & a e^{x}-b e^{-x}+c\sin x - d\cos x = e^{x}. \end{aligned}
É um sistema linear em a,b,c,d que depende de x; resolvê-lo dá as derivadas u_i'.
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo (faça comigo):
Some (1) com (3):
2a e^{x}+2b e^{-x}=0\quad\Rightarrow\quad a e^{x}+b e^{-x}=0.
Dessa relação obtemos
b=-a e^{2x}.
Some (2) com (4):
2a e^{x}-2b e^{-x}=e^{x}.
Substituindo b=-a e^{2x} em -2b e^{-x} obtemos -2b e^{-x}= -2(-a e^{2x})e^{-x}=2a e^{x}. Assim a soma vira
Integramos cada u_{i}' para obter u_{i}. Observação importante: as constantes de integração gerariam termos que pertencem à solução homogênea; por isso, para construir uma particular podemos tomar essas constantes iguais a zero (os parâmetros livres serão recuperados em y_{h}). Então fazemos as integrais sem constantes adicionais:
Observação crucial: o termo -\tfrac{3}{8}e^{x} é proporcional a e^{x}, que já pertence à solução homogênea. Portanto podemos absorver esse termo nos constantes C_{1} da solução homogênea. Consequentemente, podemos escolher como particular mais simples
y_{p}^{\text{(simples)}}=\tfrac{1}{4}x e^{x},
que difere de y_{p} acima por um múltiplo de e^{x} (isto é admissível porque a solução geral tem liberdade para incorporar esse múltiplo).
Passo 8
Finalmente escrevemos a solução geral somando a homogênea com a particular escolhida: