A equação diferencial q^prime prime+3 q^prime+2 q=0 representa o decaimento da carga num circuito LRC. Sabendo que a carga neste circuito, no instante zero é 5C, e a corrente inicial é nula, determine:
(b) a solução particular (solução do PVI);

Passo 1

Neste exercício temos a equação diferencial que descreve o decaimento da carga em um circuito LRC: q'' + 3q' + 2q = 0. Precisamos encontrar a solução que satisfaça as condições iniciais q(0)=5 C e corrente inicial nula, ou seja, q'(0)=0. O conteúdo principal aqui é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e resolução de PVI.

Passo 2

Para resolver uma EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, assumimos uma solução da forma q(t)=e^rt. Substituindo em q'' + 3q' + 2q = 0, chegamos à equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0
Que fatorando fica (r+1)(r+2)=0, dando as raízes r1=-1 e r2=-2.

Passo 3

Com as raízes distintas, a solução geral é uma combinação linear dessas exponenciais:
q(t)=A e^-t + B e^-2t
Para aplicar as condições iniciais, precisamos também da derivada:
q'(t)=-A e^-t - 2B e^-2t

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais: em t=0 temos q(0)=A + B = 5 e q'(0)=-A - 2B = 0. Resolvendo esse sistema, da segunda equação vem A = -2B. Substituindo em A+B=5 obtemos -2B + B = 5, logo B = -5 e então A = 10.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, obtemos a solução particular do PVI.

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições dadas é
q(t)=10 e^-t - 5 e^-2t

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