A equação diferencial
representa o decaimento da carga num circuito LRC. Sabendo que a carga neste circuito, no instante zero é 5C, e a corrente inicial é nula, determine:
(b) a solução particular (solução do PVI);
(b) a solução particular (solução do PVI);
Passo 1
Neste exercício temos a equação diferencial que descreve o decaimento da carga em um circuito LRC:
. Precisamos encontrar a solução que satisfaça as condições iniciais
C e corrente inicial nula, ou seja,
. O conteúdo principal aqui é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e resolução de PVI.
Passo 2
Para resolver uma EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, assumimos uma solução da forma
. Substituindo em
, chegamos à equação característica
Que fatorando fica
Passo 3
Com as raízes distintas, a solução geral é uma combinação linear dessas exponenciais:
Para aplicar as condições iniciais, precisamos também da derivada:
Passo 4
Agora usamos as condições iniciais: em
temos
e
. Resolvendo esse sistema, da segunda equação vem
. Substituindo em
obtemos
, logo
e então
.
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do PVI.
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições dadas é