(Simmons, exer. 10, pag. 62) Salmoura de densidade 3 kg / L entra à razão de 2 L / min em um tanque contendo, no instante t0 =0,40 (quarenta) litros de água. Simultaneamente, 3 L / min são retirados da mistura já homogeneizada. Qual a quantidade de sal na mistura quando a quantidade de salmoura atinge 20L ? Em quanto tempo o tanque se esvaziará?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque que inicialmente contém 40 litros de água pura. Aí, entra uma salmoura (que é basicamente água com sal) com densidade de 3 , kg/L a uma taxa de 2 , L/min. Ao mesmo tempo, sai da mistura do tanque uma quantidade de 3 , L/min. A gente precisa descobrir duas coisas:
  1. Quanto sal tem na mistura quando o volume atinge 20 litros.
  2. Em quanto tempo o tanque vai esvaziar completamente.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de mistura de fluidos e equações diferenciais simples. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis:
  • $ V(t) $: Volume de líquido no tanque no tempo $ t $.
  • $ Q_{entrada} = 2 , L/min $: Taxa de entrada da salmoura.
  • $ Q_{saída} = 3 , L/min $: Taxa de saída da mistura.
  • $ C(t) $: Concentração de sal no tanque no tempo $ t $.
  • $ S(t) $: Quantidade de sal no tanque no tempo $ t $.
Sabemos que a salmoura que entra tem uma densidade de V(t) , o que significa que cada litro dela tem 3 kg de sal. Inicialmente, o tanque tem apenas água pura, então $ S(0) = 0 $.

Passo 3

Vamos primeiro encontrar como o volume $ V(t) $ varia com o tempo. A taxa de variação do volume é dada pela diferença entre a entrada e a saída:
V(t) í
Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de dVdt = Qentrada - Qsaída = 2 - 3 = -1 , L/min . Integrando essa equação, temos:
1 , L/min
Então, o volume no tempo $ t $ é $ V(t) = 40 - t $ litros.

Passo 4

Agora, vamos determinar a quantidade de sal $ S(t) $ no tanque. A taxa de variação de $ S(t) $ depende do sal que entra e do sal que sai:
S(t) í
A taxa de entrada de sal é a concentração da salmoura que entra vezes a taxa de entrada:
S(t)
A taxa de saída de sal depende da concentração atual no tanque:
dSdt = Taxa de entrada de sal - Taxa de saída de sal íí
Então, a equação fica:
Taxa de entrada de sal = 3 , kg/L times 2 , L/min = 6 , kg/min

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Vamos rearranjar:
dSdt + 340 - t S(t) = 6
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O próximo passo é encontrar um fator integrante para resolver:
mu(t) = e^integral 340 - t dt = e^-3 ln|40 - t| = (40 - t)^-3
Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante:
(40 - t)^-3 dSdt + 340 - t (40 - t)^-3 S(t) = 6 (40 - t)^-3
Isso simplifica para:
ddt [ S(t) (40 - t)^-3 ] = 6 (40 - t)^-3
Integrando ambos os lados:
S(t) (40 - t)^-3 = integral 6 (40 - t)^-3 dt + K
Fazendo a integral:
S(t) (40 - t)^-3 = -3 (40 - t)^-2 + K
Multiplicando ambos os lados por $ (40 - t)^3 $:
(40 - t)^3
Agora, aplicamos a condição inicial $ S(0) = 0 $:
S(t) = -3 (40 - t) + K (40 - t)^3
Então, a solução para $ S(t) $ é:
S(0) = 0

Passo 6

Agora, vamos responder à primeira pergunta: Qual a quantidade de sal na mistura quando o volume atinge 20 litros?
Sabemos que $ V(t) = 40 - t $. Queremos encontrar $ t $ quando $ V(t) = 20 $:
V(t) = 40 - t
Agora, substituímos $ t = 20 $ na expressão de $ S(t) $:
t
Hmm, isso não faz sentido ter uma quantidade negativa de sal. Vamos revisar os cálculos.

Passo 7

Ops! Parece que houve um erro nos sinais durante a integração. Vamos revisar a solução da equação diferencial.
Voltando à equação:
dSdt + 340 - t S(t) = 6
E o fator integrante foi:
mu(t) = (40 - t)^-3
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
(40 - t)^-3 dSdt + 340 - t (40 - t)^-3 S(t) = 6 (40 - t)^-3
Isso dá:
ddt [ S(t) (40 - t)^-3 ] = 6 (40 - t)^-3
Integrando:
S(t) (40 - t)^-3 = integral 6 (40 - t)^-3 dt + K
A integral correta de 6 (40 - t)^-3 é:
integral 6 (40 - t)^-3 dt = 62 (40 - t)^-2 = 3 (40 - t)^-2
Então:
S(t) (40 - t)^-3 = 3 (40 - t)^-2 + K
Multiplicando por $ (40 - t)^3 $:
(40 - t)^3
Aplicando a condição inicial $ S(0) = 0 $:
S(t) = 3 (40 - t) + K (40 - t)^3
Então, a solução correta é:
S(0) = 0

Passo 8

Agora, vamos recalcular $ S(20) $:
S(20)
Agora faz sentido! Quando o volume atinge 20 litros, a quantidade de sal na mistura é de 45 kg.

Passo 9

Agora, vamos responder à segunda pergunta: Em quanto tempo o tanque se esvaziará?
O tanque esvaziará quando $ V(t) = 0 $:
V(t) = 0
Então, o tanque será completamente vazio em 40 minutos.

Resposta

Quando o volume da mistura atinge 20 litros, há 45 kg de sal no tanque. O tanque se esvaziará completamente após 40 minutos.

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