(Simmons, exer. 10, pag. 62) Salmoura de densidade
entra à razão de
em um tanque contendo, no instante t0
(quarenta) litros de água. Simultaneamente,
são retirados da mistura já homogeneizada. Qual a quantidade de sal na mistura quando a quantidade de salmoura atinge 20L ? Em quanto tempo o tanque se esvaziará?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque que inicialmente contém 40 litros de água pura. Aí, entra uma salmoura (que é basicamente água com sal) com densidade de
a uma taxa de
. Ao mesmo tempo, sai da mistura do tanque uma quantidade de
. A gente precisa descobrir duas coisas:
- Quanto sal tem na mistura quando o volume atinge 20 litros.
- Em quanto tempo o tanque vai esvaziar completamente.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de mistura de fluidos e equações diferenciais simples. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis:
- $ V(t) $: Volume de líquido no tanque no tempo $ t $.
- $ Q_{entrada} = 2 , L/min $: Taxa de entrada da salmoura.
- $ Q_{saída} = 3 , L/min $: Taxa de saída da mistura.
- $ C(t) $: Concentração de sal no tanque no tempo $ t $.
- $ S(t) $: Quantidade de sal no tanque no tempo $ t $.
Sabemos que a salmoura que entra tem uma densidade de
, o que significa que cada litro dela tem 3 kg de sal. Inicialmente, o tanque tem apenas água pura, então $ S(0) = 0 $.
Passo 3
Vamos primeiro encontrar como o volume $ V(t) $ varia com o tempo. A taxa de variação do volume é dada pela diferença entre a entrada e a saída:
Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de
. Integrando essa equação, temos:
Então, o volume no tempo $ t $ é $ V(t) = 40 - t $ litros.
Passo 4
Agora, vamos determinar a quantidade de sal $ S(t) $ no tanque. A taxa de variação de $ S(t) $ depende do sal que entra e do sal que sai:
A taxa de entrada de sal é a concentração da salmoura que entra vezes a taxa de entrada:
A taxa de saída de sal depende da concentração atual no tanque:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Vamos rearranjar:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O próximo passo é encontrar um fator integrante para resolver:
Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a integral:
Multiplicando ambos os lados por $ (40 - t)^3 $:
Agora, aplicamos a condição inicial $ S(0) = 0 $:
Então, a solução para $ S(t) $ é:
Passo 6
Agora, vamos responder à primeira pergunta: Qual a quantidade de sal na mistura quando o volume atinge 20 litros?
Sabemos que $ V(t) = 40 - t $. Queremos encontrar $ t $ quando $ V(t) = 20 $:
Agora, substituímos $ t = 20 $ na expressão de $ S(t) $:
Hmm, isso não faz sentido ter uma quantidade negativa de sal. Vamos revisar os cálculos.
Passo 7
Ops! Parece que houve um erro nos sinais durante a integração. Vamos revisar a solução da equação diferencial.
Voltando à equação:
E o fator integrante foi:
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
Isso dá:
Integrando:
A integral correta de
é:
Então:
Multiplicando por $ (40 - t)^3 $:
Aplicando a condição inicial $ S(0) = 0 $:
Então, a solução correta é:
Passo 8
Agora, vamos recalcular $ S(20) $:
Agora faz sentido! Quando o volume atinge 20 litros, a quantidade de sal na mistura é de 45 kg.
Passo 9
Agora, vamos responder à segunda pergunta: Em quanto tempo o tanque se esvaziará?
O tanque esvaziará quando $ V(t) = 0 $:
Então, o tanque será completamente vazio em 40 minutos.
Resposta
Quando o volume da mistura atinge 20 litros, há 45 kg de sal no tanque. O tanque se esvaziará completamente após 40 minutos.