Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma y^prime+p(x) y=q(x) y^alpha ; alpha neq 0,1. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear através da mudança de variável v=y^1-alpha. Resolva as seguintes e.d.o:
x y^prime+y=x y^2 ln x.

Passo 1

O exercício pede para resolver a e.d.o. de Bernoulli
e identificar que ela está na forma geral
y' + p(x)y = q(x)y^alpha
com alpha neq 0,1. Vamos usar a mudança de variável v = y^1-alpha.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação dada
x y' + y = x y^2 ln x
na forma padrão dividindo tudo por x:
y' + 1xy = y^2ln x
Daí identificamos
p(x)=tfrac1x, q(x)=ln x, alpha=2

Passo 3

Para toda e.d.o. de Bernoulli com alpha, fazemos
v = y^1-alpha = y^-1
Como v = 1/y, temos
v' = -y'y^2

Passo 4

Substituindo y' na expressão de v', ou usando a fórmula padrão, obtemos a e.d.o. linear em v:
v' - 1xv = -ln x

Passo 5

Agora resolvemos essa e.d.o. linear. O fator integrante é
mu(x) = e^integral -1x,dx = e^-ln x = 1x
Multiplicando a equação por 1/x vem
ddxl(vxr) = -ln xx
Integrando,
vx = -(ln x)^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Assim
v = xl(C - (ln x)^22r)
Voltando à variável original:
y = 1v = 1xl(C - tfrac(ln x)^22r)

Resposta

y(x) = 1xl(C - tfrac(ln x)^22r), C constante arbitrária á

Exercícios relacionados