Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma , onde e são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzindo uma mudança de variáveis do tipo . Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas: .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea
usando a mudança de variável . Vamos aplicar o método de redução de homogêneas passo a passo.
Passo 2
Para equações homogêneas de forma , a troca (ou ) reduz a e.d.o. a variáveis separáveis. Definimos
e portanto
Passo 3
Substituímos e na equação original:
Como e , obtemos
Cancelando (para ):
Passo 4
Expandindo e isolando :
Subtraindo de ambos os lados:
Logo:
Passo 5
Separamos as variáveis:
Escrevendo , temos
Integramos:
Passo 6
Multiplicando por ):
Voltando a :
1(y/x)^2-2lnl|y/xr| = ln|x|+C1
Passo 7
Reescrevendo de forma mais compacta e absorvendo constantes temos a solução implícita final:
x^2y^2+lnl|xy^2r|=C
onde C é a constante de integração.
Resposta
x^2y^2+lnl|xy^2r|=C, com C constante de integração.