Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma y^prime=f(x, y)g(x, y), onde f(x, y) e g(x, y) são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzindo uma mudança de variáveis do tipo v=yx. Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas:
2 x y^prime(x^2+y^2)=y(y^2+2 x^2).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea
2x,y'(x^2+y^2)=y,(y^2+2x^2)
usando a mudança de variável v=y/x. Vamos aplicar o método de redução de homogêneas passo a passo.

Passo 2

Para equações homogêneas de forma y' = f(x,y)/g(x,y), a troca y= vx (ou v=y/x) reduz a e.d.o. a variáveis separáveis. Definimos
y=v x
e portanto
y' = v + xdvdx

Passo 3

Substituímos y=v x e y'=v+x,dv/dx na equação original:
2x,l(v + x,dv/dxr)l(x^2+(v x)^2r)=v xl((v x)^2+2x^2r)
Como x^2+(v x)^2=x^2(1+v^2) e (v x)^2+2x^2=x^2(v^2+2), obtemos
2x^3(1+v^2)l(v + x,dv/dxr)=v x^3(v^2+2)
Cancelando x^3 (para xneq0):
2(1+v^2)l(v + x,dv/dxr)=v(v^2+2)

Passo 4

Expandindo e isolando dv/dx:
2(1+v^2)v + 2(1+v^2)xdvdx = v^3+2v
2v+2v^3 +2(1+v^2)xdvdx=v^3+2v
Subtraindo 2v+2v^3 de ambos os lados:
2(1+v^2)xdvdx=-v^3
Logo:
dvdx=-v^32x(1+v^2)

Passo 5

Separamos as variáveis:
21+v^2v^3,dv=-dxx
Escrevendo (1+v^2)/v^3=v^-3+v^-1, temos
integrall(2v^-3+2v^-1r)dv=-integraldxx
Integramos:
2integral v^-3dv +2integral v^-1dv = -integral x^-1dx
2l(-tfrac12v^-2r) + 2ln|v| = -ln|x| + C
-1v^2 +2ln|v| = -ln|x| + C

Passo 6

Multiplicando por ):
-1) e agrupando constantes (chamando de (C1
Voltando a 1v^2-2ln|v| = ln|x| + C1 :
v=y/x
1(y/x)^2-2lnl|y/xr| = ln|x|+C1

Passo 7

Reescrevendo de forma mais compacta e absorvendo constantes temos a solução implícita final:
x^2y^2+lnl|xy^2r|=C
onde C é a constante de integração.

Resposta

x^2y^2+lnl|xy^2r|=C, com C constante de integração.

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