Uma equação diferencial de primeira ordem da forma
, onde a constante
e
, é conhecida como equação de Bernoulli. Ela é não linear, mas se transforma em uma equação linear se fizermos a substituição de variável
[note que
; a EDO linear em
é
. Use essa informação para achar a solução do PVI
. Qual é o domínio da solução encontrada?
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI da equação de Bernoulli de primeira ordem
ou seja, temos
,
e
. Para linearizar, vamos usar a substituição
Passo 2
Com
temos
Dividindo a equação original por
e usando
e
, obtemos
o que se rearranja para a EDO linear em
:
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
resulta em
Integrando ambos os lados:
o que leva a
Passo 4
Usando a condição inicial
implica
. Então
Assim
Passo 5
Voltando à variável original
, obtemos a solução explícita
Passo 6
O denominador
nunca se anula e a EDO é bem-comportada para todo
. Logo, o domínio da solução é