Uma equação diferencial de primeira ordem da forma y^prime+a(x) y=b(x) y^alpha, onde a constante alpha neq 0 e alpha neq 1, é conhecida como equação de Bernoulli. Ela é não linear, mas se transforma em uma equação linear se fizermos a substituição de variável z(x)=y(x)^1-alpha [note que z^prime(t)=(1-alpha) y(t)^-alpha y^prime(t)]; a EDO linear em z(x) é z^prime+(1-alpha) a(x) z=(1-alpha) b(x). Use essa informação para achar a solução do PVI y^prime+x y=x y^2, y(0)=1 / 2. Qual é o domínio da solução encontrada?

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI da equação de Bernoulli de primeira ordem
y'+x,y=x,y^2, y(0)=tfrac12,
ou seja, temos a(x)=x, b(x)=x e alpha=2. Para linearizar, vamos usar a substituição
z(x)=y(x)^1-alpha=y(x)^-1

Passo 2

Com z=y^-1 temos
z'=(1-alpha)y^-alphay'=-y^-2y'
Dividindo a equação original por y^2 e usando y'/y^2=-z' e 1/y=z, obtemos
-y^-2y'+x,y^-1=x
o que se rearranja para a EDO linear em z:
z'-x,z=-x

Passo 3

Para resolver
z'-x,z=-x
calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral(-x),dx=e^-x^2/2
Multiplicando a EDO por mu(x) resulta em
ddxl(z,e^-x^2/2r)=-x,e^-x^2/2
Integrando ambos os lados:
z,e^-x^2/2=integral -x,e^-x^2/2dx=e^-x^2/2+C
o que leva a
z(x)=1+C,e^x^2/2

Passo 4

Usando a condição inicial y(0)=tfrac12 implica z(0)=y(0)^-1=2. Então
2=1+CRightarrow C=1
Assim
z(x)=1+e^x^2/2

Passo 5

Voltando à variável original y=z^-1, obtemos a solução explícita
y(x)=11+e^x^2/2

Passo 6

O denominador 1+e^x^2/2 nunca se anula e a EDO é bem-comportada para todo x. Logo, o domínio da solução é
(-infty,infty)

Resposta

y(x)=dfrac11+e^x^2/2, domínio: xinR.

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