A Equação diferencial de Riccati é uma EDO não linear, de primeira ordem, da forma
y^prime=A(x)+B(x) y+C(x) y^2
Se conhecemos uma solução particular da equação, por exemplo y1, a mudança de variável y=y1+1v produzirá uma EDO linear. Considere a EDO:
y^prime=e^2 x+(1+2 e^x) y+y^2
Obtenha a solução geral, da EDO de Riccati dada, usando a mudança de variável apropriada.

Passo 1

A equação dada é y'=e^2x+(1+2e^x)y+y^2, que é uma Riccati. Para resolver vamos usar o método que, conhecendo uma solução particular y1, a mudança de variável y=y1+1v leva a uma ODE linear para v.

Passo 2

Procuramos uma solução particular do tipo y1=a e^x. Calculando y1'=a e^x e substituindo em y'=y^2+(1+2e^x)y+e^2x, igualando coeficientes de e^x e e^2x, obtemos a=-1. Logo, y1=-e^x.

Passo 3

Fazendo a substituição y=-e^x+1v, temos
$$
y

Passo 4

=-ex-\frac{v’}{v2}
$$’, 'Substituindo na Riccati e simplificando os termos em ', 'Substituindo na Riccati e simplificando os termos em $e^2x,e^x,1/v$ e $1/v^2$, obtemos para $v$: e ', 'Mu, obtemos para :
', 'Multiplicando ambos os lados por vem a ODE linear:
',

Passo 5

Resolvendo v'+v=-1 por fator integrante e^x:
ddx(v e^x)=-e^x ', 'Integrando,
v e^x=-e^x+C ', 'logo
v=C e^-x-1 ', 'Voltando a y=-e^x+1/v, concluímos a solução geral:
y=-e^x+1C e^-x-1 ']))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Passo 6

A equação dada é y'=e^2x+(1+2e^x)y+y^2, que é uma Riccati. Para resolver vamos usar o método que, conhecendo uma solução particular y1, a mudança de variável y=y1+1v leva a uma ODE linear para v.

Passo 7

Procuramos uma solução particular do tipo y1=a e^x. Calculando y1'=a e^x e substituindo em y'=y^2+(1+2e^x)y+e^2x, igualando coeficientes de e^x e e^2x, obtemos a=-1. Logo, y1=-e^x.

Passo 8

Fazendo a substituição y=-e^x+1v, temos
$$
y

Passo 9

=-ex-\frac{v’}{v2}.
$$Substituindo na Riccati e simplificando os termos em Substituindo na Riccati e simplificando os termos em $e^2x,e^x,1/v$ e $1/v^2$, obtemos para $v$: e Mu, obtemos para :
Multiplicando ambos os lados por vem a ODE linear:
',

Passo 10

Resolvendo v'+v=-1 por fator integrante e^x:
ddx(v e^x)=-e^x Integrando,
v e^x=-e^x+C, logo
v=C e^-x-1

Passo 11

Voltando a y=-e^x+1/v, concluímos a solução geral:
y=-e^x+1C e^-x-1

Resposta

y(x)=-e^x+dfrac1C e^-x-1, com C constante de integração.

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