A Equação diferencial de Riccati é uma EDO não linear, de primeira ordem, da forma
Se conhecemos uma solução particular da equação, por exemplo
, a mudança de variável
produzirá uma EDO linear. Considere a EDO:
Obtenha a solução geral, da EDO de Riccati dada, usando a mudança de variável apropriada.
Passo 1
A equação dada é
, que é uma Riccati. Para resolver vamos usar o método que, conhecendo uma solução particular
, a mudança de variável
leva a uma ODE linear para
.
Passo 2
Procuramos uma solução particular do tipo
. Calculando
e substituindo em
, igualando coeficientes de
e
, obtemos
. Logo,
.
Passo 3
Fazendo a substituição
, temos
$$
y
y
Passo 4
=-ex-\frac{v’}{v2}
$$’, 'Substituindo na Riccati e simplificando os termos em
e
, obtemos para
:
Passo 5
Resolvendo
por fator integrante
:
Passo 6
A equação dada é
, que é uma Riccati. Para resolver vamos usar o método que, conhecendo uma solução particular
, a mudança de variável
leva a uma ODE linear para
.
Passo 7
Procuramos uma solução particular do tipo
. Calculando
e substituindo em
, igualando coeficientes de
e
, obtemos
. Logo,
.
Passo 8
Fazendo a substituição
, temos
$$
y
y
Passo 9
=-ex-\frac{v’}{v2}.
$$Substituindo na Riccati e simplificando os termos em
e
, obtemos para
:
Passo 10
Resolvendo
por fator integrante
:
Passo 11
Voltando a
, concluímos a solução geral: