Considere a seguinte equação diferencial de Bernoulli:
Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Passo 1
Temos a EDO de Bernoulli
A solução obtida em (b) foi
Queremos mostrar que, ao substituir essa função na EDO, o lado esquerdo fica igual ao direito.
Passo 2
Para começar, calculamos a derivada de
Usando a regra da cadeia, temos
Passo 3
Agora montamos o lado esquerdo da EDO,
Para juntar as frações, note que
e a segunda parcela fica
Com denominador comum
, o numerador total é
logo
Passo 4
Calculamos agora o lado direito:
Passo 5
Como o lado esquerdo e o lado direito coincidem,
concluímos que a função dada realmente satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Substituindo a solução de (b) na EDO e simplificando, obtemos lados esquerdo e direito iguais, portanto a função é de fato solução da equação diferencial dada.