Considere a seguinte equação diferencial de Bernoulli:
y^prime+yx=x y^2
Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

Temos a EDO de Bernoulli
y'+yx=x,y^2
A solução obtida em (b) foi
y(x)=1C,x - x^2
Queremos mostrar que, ao substituir essa função na EDO, o lado esquerdo fica igual ao direito.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada de
y(x)=l(Cx - x^2r)^-1
Usando a regra da cadeia, temos
y'(x) = -1cdotl(Cx - x^2r)^-2cdot(C - 2x) = -C - 2x(C x - x^2)^2

Passo 3

Agora montamos o lado esquerdo da EDO,
y' + yx = -C - 2x(C x - x^2)^2 + 1xcdot1C x - x^2
Para juntar as frações, note que
(C x - x^2)^2 = x^2,(C - x)^2
e a segunda parcela fica
1x(C x - x^2) = 1x^2(C - x)
Com denominador comum x^2(C - x)^2, o numerador total é
-(C - 2x) + (C - x) = x,
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y' + yx = xx^2(C - x)^2 = 1x(C - x)^2

Passo 4

Calculamos agora o lado direito:
x,y^2 = xcdot1(C x - x^2)^2 = xx^2(C - x)^2 = 1x(C - x)^2

Passo 5

Como o lado esquerdo e o lado direito coincidem,
y' + yx = 1x(C - x)^2 = x,y^2,
concluímos que a função dada realmente satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Substituindo a solução de (b) na EDO e simplificando, obtemos lados esquerdo e direito iguais, portanto a função é de fato solução da equação diferencial dada.

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