Para uma equação diferencial de segunda ordem da forma
y^prime prime=f(t, y^prime)
a substituição
lv=y^prime v^prime=y^prime prime
leva a uma equação diferencial de primeira ordem da forma
v^prime=f(t, v)
Se essa equação puder ser resolvida para v, então y pode ser obtida integrando-se dy d yd t=v, ou seja:
y=integral v d t
Note que se obtêm uma contante arbitrária ao se resolver a equação de primeira ordem para v e uma segunda constante é introduzida na integração para se encontrar y.
Use esse método para encontrar uma solução para a equação diferencial:
t y^prime prime+y^prime=1, t>0

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem t,y'' + y' = 1 usando a redução de ordem, ou seja, chamamos v = y' e v' = y'' para obter uma ED de primeira ordem em v.

Passo 2

Substituindo v = y' e v' = y'' na equação original, conseguimos
t,v' + v = 1 que é uma equação linear de primeira ordem em v.

Passo 3

Para resolver t,v' + v = 1, primeiro colocamos no formato padrão
v' + 1t,v = 1t e identificamos o fator integrante
mu(t) = e^integral 1t,dt = t

Passo 4

Multiplicando a equação pelo fator integrante t, obtemos
t,v' + v = 1 Longrightarrow (t,v)' = 1 Agora integramos ambos os lados em relação a t:
t,v = integral 1,dt = t + C1 portanto
v(t) = 1 + C1t

Passo 5

Finalmente, como v = y', integramos para achar y:
y(t) = integral v,dt = integral l(1 + C1tr)dt = t + C1ln t + C2

Resposta

y(t)=t + C1,ln t + C2

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