A Equação diferencial
(x^2+9) y^prime prime+x y^prime+y=0
admite uma solução via série de potências da forma
y(x)=sumk=0^infty ak(x-2)^k
com raio de convergência R=5 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a EDO (x^2+9)y''+xy'+y=0 e pede solução em série centrada em x0=2. Como as funções coeficientes P(x)=x^2+9, Q(x)=x, R(x)=1 são analíticas em x=2 (isto é, P(2)neq0), existe de fato uma solução em série de potências em torno de x=2.

Passo 2

Para saber o raio de convergência dessa série, usamos o teorema de que ele é dado pela distância do ponto de expansão x0=2 ao singular mais próximo da EDO, ou seja, à raiz de x^2+9=0.

Passo 3

Resolvendo x^2+9=0 no plano complexo, obtemos as singularidades x=3i e x=-3i. A menor distância de 2 a essas raízes é
|2-3i|=raiz(2-0)^2+(0-3)^2=raiz4+9=raiz13

Passo 4

Logo, o raio de convergência da série centrada em x=2 é R=raiz13, que vale aproximadamente 3,6<5. Portanto não é possível ter raio de convergência igual a 5.

Resposta

Não. O raio de convergência é R=raiz13approx3,6<5, pois as singularidades mais próximas de 2 são em x=pm3i.

Exercícios relacionados