A Equação diferencial
admite uma solução via série de potências da forma
com raio de convergência
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede solução em série centrada em
. Como as funções coeficientes
,
,
são analíticas em
(isto é,
), existe de fato uma solução em série de potências em torno de
.
Passo 2
Para saber o raio de convergência dessa série, usamos o teorema de que ele é dado pela distância do ponto de expansão
ao singular mais próximo da EDO, ou seja, à raiz de
.
Passo 3
Resolvendo
no plano complexo, obtemos as singularidades
e
. A menor distância de
a essas raízes é
Passo 4
Logo, o raio de convergência da série centrada em
é
, que vale aproximadamente
. Portanto não é possível ter raio de convergência igual a 5.
Resposta
Não. O raio de convergência é
, pois as singularidades mais próximas de 2 são em
.