Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo fatoriais e produtos de números ímpares. Para resolver isso, vamos precisar entender como o fatorial cresce em comparação com o produto dos números ímpares e aplicar conceitos de análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão representa:
-
Fatorial (n!): É o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até n. Por exemplo,
. -
Produto dos números ímpares (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)): É o produto de todos os números ímpares de 1 até (2n-1). Esse produto é conhecido como duplo fatorial de (2n-1), denotado por (2n-1)!!.
Passo 3
Vamos reescrever o denominador usando a notação de duplo fatorial:
Agora, a expressão original fica:
Passo 4
Para comparar o crescimento de
e
, podemos expressar
em termos de duplo fatorial:
Isolando
:
Passo 5
Substituindo
na expressão original:
Passo 6
Agora, temos:
Vamos simplificar essa expressão usando uma aproximação conhecida do fatorial, como a fórmula de Stirling, que nos diz que para números grandes:
Passo 7
Aplicando a fórmula de Stirling:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Simplificando:
Passo 9
Continuando a simplificação:
Passo 10
Agora, analisamos o limite:
Sabemos que
tende a zero muito mais rapidamente do que
cresce. Portanto, o produto tende a zero.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O limite
converge para zero.