Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
( ) lim n infty n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)=0

Passo 1

Vamos analisar a afirmação:
limn infty n!1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = 0
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo fatoriais e produtos de números ímpares. Para resolver isso, vamos precisar entender como o fatorial cresce em comparação com o produto dos números ímpares e aplicar conceitos de análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão representa:
  • Fatorial (n!): É o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até n. Por exemplo, 5! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 = 120.
  • Produto dos números ímpares (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)): É o produto de todos os números ímpares de 1 até (2n-1). Esse produto é conhecido como duplo fatorial de (2n-1), denotado por (2n-1)!!.

Passo 3

Vamos reescrever o denominador usando a notação de duplo fatorial:
1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n-1)!!
Agora, a expressão original fica:
n!(2n-1)!!

Passo 4

Para comparar o crescimento de n! e (2n-1)!!, podemos expressar (2n)! em termos de duplo fatorial:
(2n)! = 2^n cdot n! cdot (2n-1)!!
Isolando (2n-1)!!:
(2n-1)!! = (2n)!2^n cdot n!

Passo 5

Substituindo (2n-1)!! na expressão original:
n!(2n-1)!! = n!(2n)!2^n cdot n! = n! cdot 2^n cdot n!(2n)! = 2^n cdot (n!)^2(2n)!

Passo 6

Agora, temos:
2^n cdot (n!)^2(2n)!
Vamos simplificar essa expressão usando uma aproximação conhecida do fatorial, como a fórmula de Stirling, que nos diz que para números grandes:
n! approx raiz2pi n (ne)^n

Passo 7

Aplicando a fórmula de Stirling:
n! approx raiz2pi n (ne)^n
Substituindo na expressão:
2^n cdot (raiz2pi n (ne)^n)^2raiz2pi 2n (2ne)^2n = 2^n cdot 2pi n (ne)^2nraiz4pi n (2ne)^2n

Passo 8

Simplificando:
2^n cdot 2pi n (ne)^2nraiz4pi n (2ne)^2n = 2^n cdot 2pi nraiz4pi n cdot (n2n)^2n = 2^n cdot 2pi n2raizpi n cdot (12)^2n

Passo 9

Continuando a simplificação:
2^n cdot 2pi n2raizpi n cdot 14^n = 2^n cdot 2pi n2raizpi n cdot 4^n = 2pi n2raizpi n cdot (24)^n = pi raiznraizpi cdot (12)^n = raizpi n cdot (12)^n

Passo 10

Agora, analisamos o limite:
limn infty raizpi n cdot (12)^n
Sabemos que (12)^n tende a zero muito mais rapidamente do que raizpi n cresce. Portanto, o produto tende a zero.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O limite limn infty n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1) = 0 converge para zero.

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