Uma caixa retangular com volume de 16 pés ^3 é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base é feita de um material que custa 10 centavos por pé quadrado e os lados de um material que custa 5 centavos por pé quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma caixa retangular com volume de 16 pés cúbicos. Ela é feita de dois tipos de materiais: o topo e a base custam 10 centavos por pé quadrado, e os lados custam 5 centavos por pé quadrado. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) dessa caixa de forma que o custo total dos materiais seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • V = l times w times h = 16 , ft^3 : comprimento da caixa
  • : largura da caixa
  • : altura da caixa
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Isso nos dá uma relação entre , e .

Passo 3

Agora, vamos expressar o custo total dos materiais. A caixa tem:
  • Topo e base: cada uma tem área C = 2(lw) times 0,10 + 2(lh + wh) times 0,05 e custam 10 centavos por pé quadrado.
  • Lados: dois lados com área e dois lados com área , cada um custando 5 centavos por pé quadrado.
O custo total é então:

Passo 4

Simplificando a expressão do custo:
C = 0,20 , lw + 0,10 , lh + 0,10 , wh
Queremos minimizar sujeito à condição .

Passo 5

Podemos usar a condição do volume para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para h = 16lw :
C = 0,20 , lw + 0,10 , l ( 16lw ) + 0,10 , w ( 16lw )
Agora, substituímos C = 0,20 , lw + 1,6w + 1,6l na expressão do custo:

Passo 6

Para minimizar partial Cpartial l = 0,20 , w - 1,6l^2 = 0 , derivamos em relação a 0,20 , w = 1,6l^2 e w = 1,60,20 , l^2 = 8l^2 e igualamos a zero.
Derivada parcial de partial Cpartial w = 0,20 , l - 1,6w^2 = 0 em relação a 0,20 , l = 1,6w^2 :
l = 1,60,20 , w^2 = 8w^2
Derivada parcial de em relação a :

Passo 7

Agora temos:
w = 8l^2
l = 8w^2
Substituindo l = 8( 8l^2 )^2 na segunda equação:
l = 864l^4
l = 8 , l^464
l^5 = 8
l = raiz[5]8 = 2

Passo 8

Com w = 8l^2 = 84 = 2 , encontramos h = 16lw = 162 times 2 = 4 :
Agora, encontramos :

Resposta

As dimensões que minimizam o custo dos materiais são:
  • Comprimento pés
  • Largura pés
  • Altura pés

Exercícios relacionados