Uma caixa retangular com volume de 16 pés
é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base é feita de um material que custa 10 centavos por pé quadrado e os lados de um material que custa 5 centavos por pé quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma caixa retangular com volume de 16 pés cúbicos. Ela é feita de dois tipos de materiais: o topo e a base custam 10 centavos por pé quadrado, e os lados custam 5 centavos por pé quadrado. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) dessa caixa de forma que o custo total dos materiais seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo de otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
: comprimento da caixa -
: largura da caixa -
: altura da caixa
Sabemos que o volume
da caixa é dado por:
Isso nos dá uma relação entre
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar o custo total dos materiais. A caixa tem:
- Topo e base: cada uma tem área
e custam 10 centavos por pé quadrado. - Lados: dois lados com área
e dois lados com área , cada um custando 5 centavos por pé quadrado.
O custo total
é então:
Passo 4
Simplificando a expressão do custo:
Queremos minimizar
sujeito à condição
.
Passo 5
Podemos usar a condição do volume para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para
:
Agora, substituímos
na expressão do custo:
Passo 6
Para minimizar
, derivamos em relação a
e
e igualamos a zero.
Derivada parcial de
em relação a
:
Derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora temos:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 8
Com
, encontramos
:
Agora, encontramos
:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo dos materiais são:
- Comprimento
pés - Largura
pés - Altura
pés