Mostre que f(x, y)=ccccx^4x^2+y^2 & , (x, y) & neq(0,0) 0 & , & (x, y) & =(0,0) é diferenciável em (0,0) e é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f: R^2to R dada por
f(x,y)= x^4x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
é diferenciável em (0,0) e ainda pertence a C^1( R^2). Vamos usar conceitos de diferenciabilidade pelo limite do quociente incremental e verificar continuidade das derivadas parciais.

Passo 2

Para provar diferenciabilidade em (0,0), lembramos que se existe uma aplicação linear L tal que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2=0,
então f é diferenciável em (0,0). Suspeitamos que L(h,k)=0 seja o candidato.

Passo 3

Como f(0,0)=0, temos para (h,k)neq(0,0)
l|f(h,k)-0-0r|=|h^4h^2+k^2|
Note que
|h^4h^2+k^2|=h^4h^2+k^2<=(h^2+k^2)^2h^2+k^2=h^2+k^2
e assim
|f(h,k)-0|raizh^2+k^2<=h^2+k^2raizh^2+k^2=raizh^2+k^2to0
quando (h,k)to(0,0). Portanto f é diferenciável em (0,0) e Df(0,0)=(0,0).

Passo 4

Para (x,y)neq(0,0), f é quociente de funções C^infty com denominador não nulo, logo é C^infty nesse domínio. Em particular, as derivadas parciais são:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^4x^2+y^2r)=2x^3l(x^2+2y^2r)(x^2+y^2)^2,
fy(x,y)=partialpartial yl(x^4x^2+y^2r)=-2x^4y(x^2+y^2)^2

Passo 5

As derivadas parciais em (0,0) também são zero, pois
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0h^4/h^2h=limhto0h^2=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=0

Passo 6

Para ver que fx e fy são contínuas em (0,0), basta mostrar que ambas tendem a zero quando (x,y)to(0,0). Usando r=raizx^2+y^2:
|fx(x,y)|<=4|x|^3x^2+y^2<=4r^3r^2=4rto0,
|fy(x,y)|<=2|x|^4,|y|(x^2+y^2)^2<=2r^4,rr^4=2rto0
Logo ambas convergem para 0=fx(0,0)=fy(0,0).

Passo 7

Reunindo tudo: diferenciabilidade em (0,0) com derivada nula, derivadas parciais bem definidas e contínuas em todo R^2. Portanto f é de classe C^1.

Resposta

A função é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo e possui derivadas parciais contínuas em todo o plano, logo fin C^1( R^2).

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