A equação diferencial
x y^prime prime-(x+N) y^prime+N y=0
onde N é um inteiro não-negativo, foi discutida por diversos autores. Uma razão para esse interesse é que tem uma solução exponencial e uma solução polinomial.
Mostre que uma segunda solução tem a forma y2(x)=c e^x integral x^N e^-x d x. Calcule y2(x) para N=1 e N=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
x y''-(x+N)y'+Ny=0,
que é linear e homogênea, e diz que uma solução já conhecida é exponencial. O conteúdo é redução de ordem para achar uma segunda solução independente e vamos usar a fórmula padrão de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0
Dividindo por x obtemos
y''-l(1+ N xr)y'+ N x,y=0,
então
p(x)=-1- N x

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, se y1(x)=e^x é uma solução, então uma segunda solução é
y2(x)=y1(x)integrale^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx
Calculamos
integral p(x),dx=integrall(-1- N xr)dx=-x-Nln x,
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e^-integral p(x),dx=e^x+Nln x=x^N e^x
Substituindo em y2:
y2(x)=e^xintegral x^N e^-x,dx

Passo 4

Para N=1 calculamos a integral por partes:
integral x e^-xdx=-x e^-x-integral(-e^-x)dx=-(x+1)e^-x+C
Então
y2(x)=e^xl[-(x+1)e^-xr]=-(x+1)
Como constante de escala não importa, escolhemos
y2(x)=x+1

Passo 5

Para N=2 fazemos inteiração por partes repetida ou usamos o resultado geral:
integral x^2e^-xdx=-(x^2+2x+2)e^-x+C
Assim
y2(x)=e^xl[-(x^2+2x+2)e^-xr]=-(x^2+2x+2),
e tomamos
y2(x)=x^2+2x+2

Resposta

Para N=1: y₂(x)=x+1
Para N=2: y₂(x)=x²+2x+2

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