A equação diferencial
onde
é um inteiro não-negativo, foi discutida por diversos autores. Uma razão para esse interesse é que tem uma solução exponencial e uma solução polinomial.
Mostre que uma segunda solução tem a forma
. Calcule
para
e
.
onde
Mostre que uma segunda solução tem a forma
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
que é linear e homogênea, e diz que uma solução já conhecida é exponencial. O conteúdo é redução de ordem para achar uma segunda solução independente e vamos usar a fórmula padrão de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
Dividindo por
então
Passo 3
A fórmula de redução de ordem diz que, se
é uma solução, então uma segunda solução é
Calculamos
logo
Substituindo em
Passo 4
Para
calculamos a integral por partes:
Então
Como constante de escala não importa, escolhemos
Passo 5
Para
fazemos inteiração por partes repetida ou usamos o resultado geral:
Assim
e tomamos
Resposta
Para N=1: y₂(x)=x+1
Para N=2: y₂(x)=x²+2x+2