1. integral triplaE y z d V, onde E=(x, y, z) mid 0 <= z <= 1,0 <= y <= 2 z, 0 <= x <= z+2

Passo 1

Na questão, queremos calcular o triplo integral de y z sobre a região E dada por 0 <= z <= 1, 0 <= y <= 2z e 0 <= x <= z+2. O conteúdo é integração múltipla em coordenadas cartesianas, e vamos usar a ordem dx,dy,dz.

Passo 2

Como primeiro passo de cálculo, integramos em relação a x. Note que y z é constante em relação a x, então
integral0^z+2 y z ,dx = y z l[xr]0^z+2 = y z (z+2)
Agora integramos esse resultado em relação a y de 0 a 2z. Aplicamos a fórmula de integral de potência:
integral0^2z y z (z+2) ,dy = z (z+2) integral0^2z y ,dy = z(z+2) cdot (2z)^22 = 2z^3(z+2)
Por fim, integramos em z no intervalo [0,1]. Expandimos e usamos as fórmulas integral z^n dz=tfracz^n+1n+1:
integral0^1 2z^3(z+2) ,dz = integral0^1 (2z^4 + 4z^3) ,dz = 2cdot15 + 4cdot14 = 25 + 1 = 75

Resposta

tfrac75

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